12 Art. 9.— T. Taka.^i : 



(vo fiß) eine Funcüou der reellen Ver'aaderüchen s ist, welche nicht 

 positiv unendlich wird, wenn sich s abnehmend der Grenze 1 nähert. 

 Ist nun a ein zu m relativ primes Ideal, dann gibt es in der 

 -Zahlengruppe o eine durch a teilbare ganze Zahl a. von der Art, 

 dass a-.ix relativ prim zu einem l)eliebig vorgeschriebenen Ideal c 

 ausfällt. Denn sind q, q',... die von einander verschiedenen 

 Primfactoren xow c, welche nicht in m aufgehen, dann gibt es 

 bekanntlich eine durch a teilbare ganze Zahl a^ derart dass «o^a 

 durch keines der Ideale q, q', .. teilba]* sind. Bestimmt man 

 ■dann o. aus den Congru en zen 





(Hl). 



wo [j eine in o enthaltene, folglich zu in prime Zahl bedeutet, 

 dann befriedigt a die gestellten Forderungen. 



Aus dieser Tatsache folgt unmittelbar, dass jedes zu m prime 

 Ideal a als den grössten gemeinsamen Divisor zweier in o enthal- 

 tenen ganzen Zahlen ;r, p dargestellt werden kann. Ist nämlich 

 j! eine durch a teilbare Zahl in o, p ebenfalls eine solche Zahl, 

 dass jedoch p : a prim zu ;<■ : a ausfällt, dann ist in der Tat 



Ferner folgern wir noch die folgende wichtige Tatsache: 



Satz 2. In Jeder Classe a nach o gibt es Ideale, die zu einem 



beliebig gegebenen Ideale c relativ prim sind. 



Be\veis. Sei a ein beliebiges Ideal in der zu a reciproke 



Classe A~', a eine durch a teilbare Zahl in o: 



a = a b, 



derart, dass h prim zu c ausfällt. Da dann b der Classe a ange- 

 hört, so ist der Satz bewiesen. 



Wenn daher von den Idealen jeder Classe einer Classen- 

 gruppe ir nach dem Modul m, nur die beibehalten werden, welche 

 relativ prim zu einem beliebigen Ideal c sind, dann bleiben die 

 Classenzahl ungeändert. Eine solche Classengruppc kann aber 

 auch aufgefasst werden, als eine Classengruppc nach dem Modul 



