2Q Art. 9. -T. Takagi : 



SO erhalten wir, indem wir nach 7 sumrniren 



wo links unter log. der reelle Wert des Logaritlinius zu verstehen 

 ist, und wo die erste Summe rechts sich auf die sämtlichen in h 

 enthaltenen Primideale \\ erstreckt, während sich die zweite 

 Summe auf alle Primideale \\, erstreckt, von welchen erst die 

 zweite Potenz in n enthalten sind, usw. 



Da nun (s — 1) H QX."^) lür s=\ endlich ist, so erhalten wir die 

 für .s>l geltende fundamentale Beziehung 



^' ^ ^ log -_L_+ /•(.-, (1) 



N(p)^ h 5-1 



wo sich die unendliche Sunuue auf die sämtlichen in ii enthaltene 

 Primideale p erstreckt, und wo /(.s) eine Function von s ist, 

 Avelche für .5=1 nicht positiv unendlich wird.'^ 



Die oben fin- die Zahlengruppe o gestellte Forderung wird 

 erfüllt, wenn o die Gruppe der zu m primen Zahlclassen nach dem 

 Modul ii; ist, mit oder ohne Vorzeichenbedingung von der in § 1 

 erwähnten Art, und dementsprechend g die (lesamsheit der zu lit 

 primen Ideale des Körpers ist. In dem Falle, wo o die Gruppe 

 der sämtlichen Zahlen o. ist, welche die Congruenz 



a = '[, (m) 



befriedigen, also aus einer einzigen Zahlclasse mod. m besteht, dem 

 Falle, worauf es im Wesentlichen ankommt, bestätigt man durch 

 die bL'kannte Methode der Volumenbestimnnmg,"'' dass 



wo n den (Irad iXar^ Ivörpers k, ^ die Anzahl der Paare con- 

 jugirt imaginären unter den mit k conjugirten Körpern, d die 



1) Diese Sclilüsse bleibt offenbar gültig, wenn nur die Priuiideale ersten Grades in die 

 Suuiuie anfgenouiuicn -werden. 



2) Vgl. H. Weber, Lelirbucli der Algdna, II. 20 und 21 Absei-., auch ZahUngruppcn,. 

 Math. Ann .49 S . 90-94. 



