98 Art. 9.— T. Takagi: 



Angenommen nun, das Primideal p zerfalle in K in ein 

 Product von e von einander verschiedenen Frimidealen, und e^z I". 

 Da p nicht in ii' enthalten ist, so bleibt p prim in K'. Wir 

 betrachten nun den Zerlegungskcrper K, für p in dem Körper 

 KK'. Da p nicht in die Relativdiscriminante von KK' aufgeht, 

 muss KK' relativ cyclisch in Bezug auf K, sein. Weil aber 

 K, nach Annahme nicht K und auch nicht K' enthält, ist dies 

 nnr so möglich, dass K^ K mit KK' zusammenfällt. l)alier. ist 

 K; nicht in K enthalten. Diesem Körper K, muss daher eine 

 Classengruppe zugeordnet sein, welche h«, aber nicht u enthält, 

 folglich gewiss nicht die Classe c enthalten kann. Dann könnte 

 al)er das in c enthaltene Primideal \> nicht in die Primideale vom 

 ersten Relativgrade in K, zerfallen, was ein Widerspruch ist. Es 

 ist daher unsere Annahme zu verwerfen: p muss notwendig in /" 

 von einander verschiedene Primideale in K zerfallen. Somit ist 

 der Satz im gegenwärtigen Falle bewiesen. 



Wir gehen nun zu dem Falle über, wo c /'^ Potenz einer 

 Classe in k ist. Dann muss es eine Zahl w in der Zahlengruppe 

 o geben, die der Ciasseneinteilung in k zu Grunde gelegt ist, von 

 der Art, dass 



Avo i ein gewisses Ideal von k bedeutet. Zum Modul m der 

 Zahlengruppe o sei alsdann ein l'rimfactor q hinzugefügt, von 

 der Beschaffenheit, dass jede Einheit e und jede Zahl o, welche 

 /''' Potenz eines Ideals von k ist V^' Potenzrest nach q, dagegen 

 die Zahl vj ein /'"' Nichtrest nach q ist. Definirt man dann 

 die Classen von k nach dem Modul m=inq, dann wird das 

 Primideal p gewiss in einer Classe (enthalten sein, welche nicht 

 die /^° ]*otenz einc^r Classe ist, und wir können den Beweis des 

 Satzes genau wie oben durchführen. 



iOs kommt also darauf an, die Existenz des Primideals q nach- 

 zuweisen. Ijithält k die jH-imitive V^ Einheitswurzel, dann ist 

 dies evident, weil eine Gleichung von der ({estait 



ca=t"--.r---^- (0^v,v<zl) (1) 



