Ut bei" eine Thcoi'ie dos relativ Aljcrsdiiii Zablkörpers. 99 



offenbar nicht durch eine Zahl ^ von k zu befriedigen i>t. '^ 

 Enthält aber k nicht die primitive /"' Einheitswurzel, dann 

 adjungire man dieselbe dem Körper k, und ei'weitre ihn zu k'. 

 Da der Relativgrad von kVk prim zu / ist, so kann eine Relation 

 von der Eorm (1) auch nicht in k' bestehen. Daher gibt es in 

 k' ein Primideal ersten (jfrades q', für welches 



(y>'' U)=^' (-r)=>' 



Ist dann q das durch q' teilbare Primideal von k, dann ist offen) lar 

 q ein Primideal von der geforderten Beschaffenheit. 



Nur scheinbar allgemeiner als der vorhergehende ist 



Satz 31. Ist K der Classe7ih'ôrper für die Classengruppe ii vo)i 

 k, dann iverden die Primideale von k, welche einem und demselben 

 C lasse ncomjjlex hc angeJiören, in K auf derselben Weise zerlegt, d. 1i. 

 sie erfahren in K eine Zerlegung in dieselbe Anzahl von Primidealen 

 derselben llelativgrade. 



Beweis. Ist p ein Primideal, welches der CMasse c oder 

 einer Classe des Complexes hc angehört, dann ist der Zerlegungs- 

 körper für p in K der umfassendste in K enthaltene Oberkörper 

 von k, in welchem p in die Primideale des ersten Relativgrades 

 zerfällt. Dieser Körper ist daher der kleinsten Classengruppe 

 in k zugeordnet, welche ir und v enthält, d. h. der Classen- 

 gruppe [h, c]. Ist daher n der Relativgrad des Körpers K/k, 

 also der Index der Classengruppe h, und ist / der kleinste 

 positive Exponent, für welchen c^ in n enthalten ist, dann ist der 

 Index der Classengruppe [n, c], und demnach auch der Relativ- 

 grad des Zerlegungskörpers für p gleich e=—r\ und das Prinndeal 

 p zerfällt in K in e von einander verschiedene Primidcalt' vom 

 /"^ Relativgrade. 



AVir erläutern noch kurz das Zerlegungsgesetz fiir da- in 

 die Relativdiscriminante aufgehende Primideal. Das <Tesetz ist 

 besonders einfach für den vollständigen Classenköi'pcr K(m) nach 

 dem Modul in. Sei t ein genau zur m**"" Potenz in iii aufgehendes 

 -Primideal, so dass 



1) Vtïl. s 4.-S. 16. 



