102 Art. 9.— T. Talcaj,ä : 



Als ein weiteres Beispiel sei der Teiluiigskörper der leni- 

 ni>katisclieD Functio]i sii (?/.; i) aiigefülirt. Der Grnndkürper k 

 ist der Gauss' sclie; sei [=(!+/), und iii = (/':) ein ungerades Prim- 

 ideal in k. Der Teilungskörper zum Divisor m'^ ist dann der 

 Classenkörper K(r'iu) voin Eelativgrade f(iii) = N(iii)— L I»er 

 Trägheitskörper fin- t ist K(iii) vom liekativgrade ç-(m):4. Ist al,-o 

 /der kleinste positive Exponent, für Avelehen 



(1 + //=/,« (in) 



ausfällt, wo r die Eiidieiten von k bedeutet, und setzt man 



dann zerfallt t in K(Pi)i) in ein Product von 4'"'" Potenzen dur e 

 von einander verschiedenen Primideale. "^ 



§ 26. 

 Ein Crilerium für den relativ Abel'schen Zahlkörper. 



H. Weber'^ hat den Classenkörper durch die folgende l)efini- 

 tion eingeführt, Avelche, offenbar auf der Analogie mit gewissen 

 in der Theorie der complexen Multiplication der elliptischen 

 P'unctionen vorkommenden Körpern beruhend, von der unsrigen 

 griindlich verschieden ist. 



Es sei im Grundkr>rper k eine Zaldengruppe n nacli dem ]Modul 

 m \orgelegt, welche eine Idealengruppe vom Index h erzeugen 

 möge; ferner sei k ein ()l»erkörper von k vom Ivelativgrade n, 

 welcher aber nicht als relativ normal vorausgesetzt wird. Dann 

 heisst 51 nach Weber Classenkörper für die Zahlengrup]ie ii. wenn 

 die folgenden Bedingungen erfüllt sind: 



1) Vgl. weitor xmten, § 32. 



2) Dieses Ero-e).uJs isb durch direkte IJeehuimg hergeleitet iu der Alihiiudlung : T. 

 Takagi, Über die iui Bereiche der rationalen complexen Zahlen Ahel'schen Zahlkörper, diese 

 Journal, vol. 19. (1903) Vgl. dasolUst S. 25, wo jedoch ein Fehler zu corrigiren ist : es soll statt 

 (1 + ?■)/= 1, die richtige : (1 + ?y= 2" zu setzen. 



3) Lehrbuch der Algebra, III. S. 607 : Vgl. iiuch Über Zahlengruppen usw. Math. Ann. 

 Bd. 49, S. 87. 



