Ueber eine Theorie des rtlutiv Al^tTschou Zahlkorpers. 103 



1) Älh Primideale ersten flradcs von k, die in it enthcdten 

 Aind, zerfallen in 9i iii ein Prodidcf roii Imdei' Primidealen ersten 

 Grades. 



2) J^ein Primideal ersten Grades von 51 geht in ein Primideal 

 von k auf. welclies nicht in ir enthalten ist. 



In den beiden Forderungen 1) und 2) wird eine endliche 

 Anzahl Ausnahme zugelassen, die dann als Factor in den Modul 

 m hingenommen Averden, weil von den in den Modul aufgehenden 

 Primidealen von k überhaupt abgesehen werden. 



Auf dieser Definition gestützt, beweist Weber'^ die folgenden 

 Tatsachen: 



3) E^htn^h. 



4) Für ein gegebenes h, kann es nicht mehr als einen 

 Classenkörper 51 geben. 



5) ^ ist relativ normal in Bezug auf k. 

 Ferner spricht er die Vermutung aus: 



6) Für jeden Classenkörper 51 ist n=h.~^ 



Es sei nun K der Classenkörper (in unserem Sinne) für die 

 Classengruppe ir. I)a die Forderung 2) in unserer Definition 

 des Classenkörpers enthalten ist, und da nach Satz 30 auch 1) 

 erfüllt ist, so ist die Existenzfrage"'-' für den Körper 5Î nach Satz 

 23 gelöst, und zwar wie aus 4) folgt, mit der Eindeutigkeit der 

 Lösung. Ferner ist die Vermutung 6) bestätigt, und das Priidicat 

 in 5) zu ,, relativ Alwlsch'' precisirt. Nachträglich folgt noch aus 

 Satz 30, dass für alle nicht in dem Führer der Classengruppe ii 

 aufgehenden Primideale von k ohne Ausnahme die Bedingung 

 1) erfüllt sind. 



In der Weber' sehen Definition des Classenkörpers 5£ ist die 

 Forderung versteckt, dass 51 relativ normal in Bezug auf k ist, 

 eine Forderung, die von der Classeneinteilung in k unabhängig 

 ist. In der Tat, besagen 1) und 2), dass überhaupt jedes Prim- 

 ideal ersten Grades von k, welclies bei der Zerlegung in 51 ein 



1) Lehrbuch, TU. S. 607-611. 



2) In der S. 102 citirten Abhandlung-, nimmt Wel>er diese Beziehuno- als eine Forderuno- 

 in der Definition des Classenkörpers auf. 



3) Eine Frage, in die Weber nicht eingeht, indem er sich nur mit den von der Theorie 

 der elliptischtn Fuuctiomn gellefeitjn aktuell vorhandenen Köriiern beschäftigt. 



