Uober eine Tiieorie des relutiv Al)erschen Zahlkjrpers. 105 



für H. Wir sind a1)er umgekolirt au- dem Zusammenfallen des 

 Körpergrades und des ( îruppenindex als Definition des Classen- 

 körpers ausgegangen und durch eine Reihe von Schlüssen an den 

 Zerlegungssatz gelangt. Für den Existenzbeweis hat dieser Weg 

 als eine grosse Erleichterung erwiesen. Immerhin gil)t die 

 Weber' sehe Definition ein Critérium für den i-elativ xVbel' sehen 

 Körper, welches sich fiir die Anwendung auf die 'i'lieorie der 

 •complexen ^.lultiplication besonders eignet. W^ir wollen dieses 

 Critérium noch als einen Satz aussprechen. 



Satz 32. Wr//// K i-chd'ir normal in Bizwj nuf k /.sV, und ir. iiii 

 ■alle in einer Classeur/ nipe ii ro// k enthaltenen Primideale erden 

 (nunles, und nvr diese, wieder in die Primideale ersten Gradex in. K 

 zerfallen, dann ist K rehdiv AheV seh in Bezug auf k, u/nl der 

 Relatirgrad von K stimmt mit dem Index der Glassengruppe n üher- 

 •ein. 



Zum Schluss sei noch das folgende bemerkt. Hei immer K/k 

 relativ normal vom llelativgrade //, und die Classen xon k nach 

 •einem Modul m de fini rt. Der Inl)egriff aller Classe von k. die ein 

 Primideal enthalt, welches in die Primideale ersten ( Irades in K 

 zerfällt, bildet eine Classengrii])pe ii. Denn sind c und c' zwei 

 beliebige dieser Classen, dann entlialt die Ciasse ('c' gewiss ein 

 Ideal i, welches Kelativnorm eines Ideals 3 von Iv ist. Denkt 

 jiian sich nun die Classen von K auch nach dem Modul m definirt, 

 so enthält die Classe von K, welche eben das Ideal 3 enthält, 

 nach Satz 5, ein Primideal ersten (îrades ^I?, derart, dass ^:p=/i3, 

 wo A~l, (m). Hieraus folgt: j = 9î(^^I^) = ^>!p, wo a = dt(A)=l, (m), 

 ;)=9î(^:p), wenn 5i die Relativnorm in Bezug auf k Itedeutet. Daher 

 •enthält die Classe ce' auch ein Primideal ersten Grades von k. 



Der Index // dieser Classengruppe n hängt von der A\'ahl des 

 Moduls lu; nur bleibt stets h^n (Satz 1). Erreicht nun h für 

 •einen gewissen Modul m die obere ( îrenze n, dann ist K relativ 

 Abel' seh, er ist der Cla-senkörper für n. Wird dagegen die obere 

 •Grenze n nie erreicht, dann sei ir diejenige offeidjar eindeutig 

 bestimmte Classengruppe, l^ei der der Index h den möglichst 

 grossen Wert hat. Dann ist der C lasse nk(>rper für 11 der grösste 

 relativ Abel' sehe Körper, w^ elcher in K enthalten ist; K selbst ist 



