103 Art. 9.— T. Takagi : 



folglich nicht relativ Ahehech. In diesem Falle müssen also in ir 

 iinendlichviele Primideale enthalten sein, welche in K nicht in 

 die Primideale ersten Grades zerfallen. Mit andern Worten, 

 die Primideale von k, irelclir in einem relativ normalen aber nicht 

 relativ AbeV mlien Oherh'n-per in die Primideale des ersten Grades 

 zerfallen, lassen sieh nieht darch eine Cong men zhedingung characte- 

 risiren, trie sie in unseren hisJierigen Betrachtungen zu Grunde gelegt 

 worden ist. 



CAPITEL V. 



Anwendung auf die Theorie der complexen Multipli- 

 cation der elliptischen Functionen. 



Absolut Abel'scher Zahlkörper. 



Wenn der Grmidkörper k der natürliche ist, dann ist der 

 vollständige Classenkörper l\{m) derjenige Zahlengruppe o{m) 

 zugeordnet, welche aus den positiven Zahlen a hesteht, die der 

 Congruenz 



«=1, (^m) 



genügen. Ki- ist also von der Ordnung f(w.). Der Führer für den: 

 Köj-per K(///) ist m, ausgenommen der Fall, wo m = 2m', und?// 

 ungerade ist, wo \\{ni)=l\{m'), und der Führer für denselheii 

 gleich m' ist. 



Der Körper \\.{in) ist der Kreisteilungskörper, welcher durch 

 die primitive m'"" Einheitswurzel erzeugt wird. Denn sei r eine 

 solche, und '^ ein Primideal erstens Grades des Kreisteilungskör- 

 pers, welches in die rationale Primzahl p aufgehen mag. Dann 

 ist notwendig 



also, von einer endlichen Anzahl der in die Zahlen der Form. 

 1-"" aufgehenden ^>p abgesehen, 



j9 = 1 , {m). 



