Ueber eine Theorie des relativ Abel'soheu Zahlkörpcrs. ß3 



1) K Ist relativ Abel sch in Bezug (U(f\<. 



2) J)ie Galois' sehe Gruppe des Relativk'ôrpers K/k ist holo- 

 edrisch isomorph mit der coiuplementären Griqope (;/n, ico g 

 die Gruppe der sämtlieheu Classen von k bedeutet. 



o) Die Relatirdiscriminante von K/k enthält kein Fj- im ideal 

 als Factor, ivelches nicht in den Modul m aufgellt. 



Dieser Satz ist die naturgemässe Verallgemeinerung des zuerst 

 von 1). Hilbert '^ für den Fall: m=l, also für den Classenkörper 

 im absoluten Sinne ausgesprochenen Satzes, welcher von ihm in 

 den einfachsten Specialfällen, dann später von Ph. Furtwängier -^ 

 für beliebige Grundkörper k bewiesen worden ist. Der Beweis 

 des oben aufgestellten Existenzsatzes für den allgemeinen Classen- 

 körper gelingt durch die gehörige Erweiterung der Hubert' sehen 

 Methode; eine grosse Erleichterung erzielen wir aber durch 

 Zahülfenahme des Fundamentalsatzes 13. 



§. 16. 



Rang der Gruppe der Zahlclassen. 



Es sei l eine gerade oder ungerade natürliche Primzahl, l ein 

 Primideal des Körpers k, welches zur sten Potenz in / aufgeht, 

 und vom/""" Grade ist. Es existirt alsdann in k ein System von 



/> Zahlen ^1, y., T/., Avelche sämtlichst, (l), und so beschaffen 



sind, dass für jede zu I prime Zahl y von k eine Relation von der 

 Form 



besteht, wo g eine beliebige natürliche Zahl ist, und die Expo- 

 nenten Ui, Ui, u^ fiir gegebenes y eindeutig bestinnnte Zahlen 



ans der Reihe : 0, 1, 2 l—\ sind. 



Die Zahl .> ist der Rang von der Abel' sehen Gruppe, der 

 Ordnung V^-'^^^', deren Elemente diejenigen Zahlclassen nach dem 



1) D. Hubert, Uebor die Theorie der relativ Abel'schen Zahlkörper, Göbtinger Nach- 

 richten, 1898. 



2) Ph. Fnrtwängler. Allgemeiner Esistenzbeweis für den Klassenkörper usw. Math. 

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