,ß2 ^i^t. 9.— T. Takao-i : 



Daher ist nach liülfssatz 3, 



.-^ = A'-''I>, (8) 



^^'0 



Demnach folgtnach (G) n'nd (8) 



woraus, in der Tat, 



Avenn 3'=3i 33 3 gesetzt wird. 



Wir haben oben die Vorzeichenbedingungen ausser Acht 

 gelassen. Ist nun K=k(V/^. ) relativ quadratisch, dann ist in (5) 

 <t> total positiv, also e positiv in jedem mit k conjugirten reellen 

 Körpern, worin r- negativ ausfällt. Dalier gilt nach Satz 21 die 

 Gleichheit (6) auch in die-em Falle. 1 )a ferner nach (7), die Zahl 

 -p- dieselbe Vorzeichen in jedem Paare zu K conjugirten Ober- 

 körpern von k' hat, wo k' ein beliebiger zu k eonjugirter reeller 

 Körper ist, in welcher /^ positiv ausfällt, und weil Ä in (8), nach 

 Hülfssatz o, beliebig vorgeschriebene Vorzeichencombination 

 haben kann, so kann man A so wählen, dass ä^~^ dieselbe Vor- 

 zeichencombination wie -jY l>êkommt, so dass die Zahl iJ in (8) 

 total positiv in Bezug auf K wird. Hiermit ist unser Satz in allen 

 seinen Teilen vollständig bewiesen. 



CAPITEL III. 



Existenzbeweis für den allgemeinen Classenkörper. 



• §. 1"). 



Formulirung des Exislenzsatzes. 



Satz 23. Tu einem (dijebraischen Körpei' k ,''el cuw Clissea- 

 gruppc H nach dem Modul m mit oder ohne Vor zeiche nhedingung 

 vorgelegt. Dann existirt stets ein Classenh'ùrj)er K für diese Glassen- 

 ^ nippe n, welcher die folgenden Eigenschaften besitzt: 



