58 Art. 9.— T. Takaoi: 



(G:H)= 1 ^ivO hez. ^^<r(V^-). 



Unser Satz wird daher bewiesen sein, wenn gezeigt wird, dass 

 (GrHo) oder, was dasselbe ist, die Anzahl der zu ^>p l)ez. S primen 

 Zahlclassen nach dem :\rodnl ^^s^'-'^'+' bez. V^''^ deren Zahlen J der 

 Congrue nz 



bez. • Jez.4% (Ö'+"0 (3) 



genügen, genau ^(p') 1)ez. ^(l' '") betrügt. 



Für das zu / primes ^^p ist dies einleuchtend, wie beim Beweis 

 des vorhergehenden Ifülfssatzes. Um den Satz für das Primideal 

 2 zu beweisen, sei At t-ii^e genau durcli die t^''' Potenz von Ü' 

 teilbare Zahl. Setzt man eine Zahl A in der Form an: 



A=a-\-At, 



wo a eine Zahl in k ist, und t für gegebenes A den möglichst 

 grossen Wert haben soll, so dass t nicht durch l teilbar ist, dann 

 genügt ^1 dann und nur dann der C-ongruenz (3), wenn 



Diese Zalden A werden also durcli 



gegeben, wenn für a„ die ^(1"+^) eintinder nach f+Mncongruenten zu 



t prime Zahlen in k, für ß^, ß^.^ je ein S^^stem der f einander 



nach l incongruenten Zahlen in k gesetzt werden. Es ergibt sich. 

 also fiii' die Anzald in I'^rage der Wert 



wie nachzuweisen war. '^ 



1) Ohne Siitz 9 zu benutzen, zeigt man leicht, wie aus der vorhergehenden BeAveise ein- 

 zusehen ist, dass der Normenrest nach ^'^ ''cz. ï'"i" /c't'/i-s^cHS den Zten Teil der silmtlichen Zahl- 

 classen nach pe bez. l^+n ausmachen kann. Mit dieser Oljcrgrcnze für die Anzahl der Normen- 

 reste kommt man alwr beim Beweis des Satzes 13 in §12 aus. Denn alsdann ist auf der 

 rechten Seite von (,") (S. 40) d+x statt d zu setzen, wo .(-rsO. Dann erhält man zunächst 

 0=71 -r + ,r, woraus notwendig îi— 1' = und .r=0 folgt. So wäre der Satz 10 auf diesem 

 Umwege vrin noiiem bewiesen sein. Diese Bemerkung füge ich zu, als eine Verificiruug des- 

 Satzes 10. 



