Ueber eine Theorie des relativ Abel'scheu Zahlkörpers. 57 



"WO o'. eine Zahl in k ist. So fortfahrend l)eweist man den Satz für 

 jede beliebige Potenz von l als Modul. 



Es sei noch bemerkt, dass dieser I>e\veis für das Priniideal i 

 auch für die zu / primen Priniideale p seine ( lültigkeit Iteihcbält. 



Hülfssatz 2. Es sei \-> ein zu l pri/tw-^ Primideal in k. loelchoi 

 in die Relativdiscriminante des relativ cijclixchen Körpers K/k vom 

 Primzahlgrade l aufgeht, so dass p die V Potenz eines Priviideah ^^s 

 in K ist. ferner sei eine Zahl in K, 'welche der Bedingung 



N(6»)=l, (pO 



genügt, u:o e ein beliebiger positiver Exponent ist. Dann gibt e>< eine 

 Zahl A in K. derart, dass 



wenn für A auch eine durch '4> teilbare Za.hJ zugelassen wird. 



Dasselbe g ill auch dann, wenn p = l in l aufgeht, vorausgesetzt, dass fur 

 den Modid der ersten Congruenz V'''\ für den der zweiten ^^''"^"' ange- 

 nommen wi7'd, wo n eine beliebige positive g(fnze rationale Zahl ist. und 

 ■V die bisherige Bedeutung Jür das Primideal {=\t' h<d.^^ 



Beweis. Es habe (1, H, Ho dieselbe I Bedeutung wie bei dem 

 Beweis des vorhergehenden liülfssatzes. \\\\ bemerken zuvör- 

 •derstj dass, wenn // (bez. ,t) eine genau dui-ch die erste Potenz 

 von % (bez.S) teilbare Zahl in K ist, 11^'^ (])ez. j^"^) offenliar eine 

 Zahl ist, die der Gruppe H angehört, von der alter erst die /.'" 

 Potenz der Gruppe Ho angehören kann, weil eine Congruenz 



//i-^ = J/- 'C^), bez. ji-^ = J,i-^ (,^-'\^ 



unmöglich ist, weim ^1 prim zu % (bez. ''S) sein soll. 

 Daher ist der Gruppenindex 



(H:Ho)^/. 



Anderseits ist, weitaus 6»=], (s^i^'-^^'+^j bez. (<^^' "') offenbar folgt: 

 N(0) = 1 (pO bez. (r+") ''\ der Gruppenindex ((.1: H) gleich der Anzahl 

 der Xormenrestclassen in k nach ^j" bez. t'"", also nach Satz 9 



1) Vgl. Satz 8, S. 24. 



2) Vgl. S. 34, Cil. (9). 



