Ueber eine Theorie des relativ Abelsclien Zahlkörpers. 55 



Zahlen die Bedingung (1) befriedigen, endlich Ho die der Zahl- 

 classen, welche durch die Zahlen A^~^ re]>resentirt werden. Es ist 

 dann zu beweisen, dass 



Da offenbar Ho eine Untergruppe von H ist, so gilt für die 

 Gruppenindices 



(G : H) ^ (G : Ho). 



Berücksichtigt man nun, dass, wenn 6=1, (if), offenbar N((9)=l, (q') 

 ist, so sieht man ein, dass (G:H) gleich der Anzahl der Normen- 

 restclassen in k nach ([% also nach Satz 9 



(G:H)=Kcr). 



Anderseits ist (G:Ho) offenbar gleich der Anzahl der Zahlclassen, 

 deren Zahlen der Bedingung 



^^-^-1, (^r) (2) 



genügt. Unser Satz wird daher Ijewiesen sein, wenn gezeigt wird. 

 dass jede Zahl Ä, welche der Congruenz (2) genügt, notwendig 

 congruent einer Zahl in k nacli dem Mochd iV ausfallen nuiss. 



Dies ist einleuchtend, Avenn ^] prim zu / ist, denn aus ('2) 

 folgt 



Ä = A^~A^'---~A,^''' (cf), 



daher 



lÄ = HiA), (cf), 



wo S(^) die Relativspur von A, also eine Zahl in k ist. Da / prim 

 zu (\ ist, so folgt hieraus das Gesagte. 



Wenn q=t ein in i aufgehendes Primideal ist, unterscheiden 

 wir zwei Fälle, jenachdem t in K in / von einander verschiedene 

 Primideale zerfällt, oder prim bleibt. 



Im ersten Falle, sei 



i=S(s2) (s-iO 



