34 -^rt. 9.— T, Takagi: 



]L)alier ist 



dann und nur dann, wenn 



oS(.if:^>)+/>'N(,i^))=o, (r^), 



oder nach (7), wenn 



oder 



was dann und nur dann der Fall ist, wenn /> einer rationalen Zahl 

 nach I congruent ist. Die Congruenz (5) wird daher genau durch 

 l nach i"^^ incongruente Zahlen befriedigt, die man erhält, wenn in 



(8) ,0=0, 1,'2, /— 1 gesetzt wird, wie zu beweisen war. 



Ferner ist, wenn t eine positive ganze rationale Zahl, p eine 

 zu I prime Zahl in k ist, 



N(i+M^iJ=i+M '^(AX (i"+'n 



also, da nacli (7), S(.lij genau durch î" teilbar ist, 



N(l+^o/,./lJ = l+/<+t. (9) 



Ist also a Normenrest nach t''^\ und zwar 



wo ,2^ zu (prim, und für /'.„^ dieselbe Zahl wie in (9) angenonnnen 

 wird, dann ist 



Da man p aus 



ap + ß~0, (Q 



bestimmen kann, so ist a Normenrest nach I"^*^^ . Jeder Normen- 

 rest nacli I'"''' ist daher Normenrest .noch jeder höheren Potenz \on 

 I, und weil jeder Normennichtrest nach I"^^ umsomehr Normen- 

 nichtrest nach jeder höheren Potenz von I ist, so ist liiermit unser 

 Satz in allen seinen Teilen vollständig bewiesen. 



