Uelier eine Theorie des relativ Abel'schen Zahlkörpers. 33 



ZU folgern ist, so wird unser Satz für l'^^ bewiesen sein, wenn 

 nachgewie^^en wird, dnss die Bedingung 



N(^) = l, (D+i) (5) 



durch genau / einander nach t'^^ incongi'uenten Zahlen befriedigt 

 wird. Nach (2) kommt hierzu nur die Zahlen von der Form 



1+A (6) 



in Frage. Es gibt nun in der Tat eine Zahl von dieser Gestalt, 

 welche der Congruenz (5) genügt. Es ist nämlich yli— syli genau 

 durch -''^^ teilbar. Bringt man daher den Bruch ^Ai'-Ai indie 

 Gestalt 



s yJi _ Aq 

 Al « 



wo a und .^0 ^'ti S prime ganze Zahlen bez. in k und K sind, und 

 worin «=1 nach einer beliebig hohen Potenz von I angenommen 

 werden kann, dann ist 



N(/lo) = a' = l, (V^'l 

 Anderseits folgt aus 



aB Ai = AoAi, 



oder 



Ai (Ao — a) = a (s Ai—Ai), 



dass Ao—a genau dnrcli ^^" teilbar ist, demnach nach Annahme 

 über « 



Nach (3) genügt diese besondere Zabi Af^ der Congruenz 



^(Al°^j + ^(A'n=0. (r+1). (7) 



Für jede Zahl A von der Form (6) gilt nun 



A~l+pA?\ (V'^^), (8) 



also nach (4) und (.")) 



N(^) = 1 + ^. S( A^ + p' ^i Ai''), (1"+^). 



