Ucbor eine Theorie des relativ Abel'schtu Zahlkörpers. ]05. 



Relativgrade, welclier licclistens gleich «l>(m) ist. Es handelt sicli 

 darum, nachzuweisen, dass T'("0 auch relativ Al)ersch in Bezug 

 auf k selbst ist, und vur allem die C'lassengruppe in k zu bestim- 

 men, welcher T'(in) zugeordnet ist. 



Wir bezeichnen durchweg mit ^ eine ungerade Zahl vom 

 Ivinge li in (3), welche ein Primideal ersten Grades von k ei-zeugt, 

 mit Ausschluss einer endlichen Anzahl, die in iii oder in die 

 Discriminante der m-teilungsgleichung von S(r) in k' aufgehen^ 

 und wir setzen 



Dann ist nach (3), (4), § :51 



wo e die in (13), § 31 angegebene Bedeutung für /^=cu bat, und die 



Coefficienten At, As, J^.., durch vs teilbar sind.'^ Versteht 



man daher unter r in (4) einen eigentlichen m*^" Teil der Periode 

 von iS(v), so sind aV(7') und S(wv) Wurzel der m-teilungsgleichung, 

 wenn, wie vorausgesetzt, cj nicht in m aufgeht, und es folgt 



eS(ujv) = S{vy, (vs). (5) 



Wenn nun ^^^ ein l'rimideal ersten Grades in T'O») ist, welches 

 mit einer endlichen An zahl Ausnahme in ein w aufgeht, so muss 



s(vyE,s(v), m, (6; 



so dass nach (5) 



eSiwv)^S{v), m. (7) 



Da nach Voraussetzung '4> nicht in die Discriminante der Teilungs- 

 gleichung aufgeht, so ist dies nur dann UKiglich. weini 



1) H. Weber, 1. c. S. 594' ; vgl. auch T. Takagi, Ou a fimdauiental property of the eqnatiijn 

 of division etc. Proceedings of the Tokyo Math. Physical Soc, Ser. 2, vol. 7. S. 414. 



