i|0^^ Art. 9— T. Takagi : 



BS(ô^v)=Siv) (8) 



(Lb., wenn 



w = ], (m), e = l, \ 



(9) 

 oder vs=-l, (m), e = — 1. j 



Umgekehrt, wenn eine Zalil ro die Bedingung (9) erfüllt, und 

 ist ^ ein Primideal von T'("Oj ^velches in w aufgebt, dann folgt 

 nacb (5), da (8) und somit (7) besteht, die llelation (ß). Weil 

 aber S(:r) den Relativkörper T'(i")/k' erzeugt, und für jede Zahl « 

 in k' 



SO ist für jede Zahl A von T'(in) 



ilemnacb ist V' ein Primideal ersten Grades in T'(in). 



Da ei=±l eine Congruenzbedingung für die Zahl «j nach einer 

 Potenz von 2 als Modul bedeutet, so ist hiermit nach § 26 dargetan, 

 •dass der Körper T'(m) relativ Abel' seil in Bezug auf k, und zwar 

 derjenige Idealengruppe zugeordnet ist, welclie durch die Zahlen 

 ^y- des Ringes u erzeugt wird, die der Congruenzbedingung (9) 

 genügen: 



,'/=-4-V fm\ 1 



(10) 



Es ist nunmuhr unser Ziel, diese Idealengruppe näher zu 

 untersuchen; wie es sich lierausstellen wird, ist der Index dersel- 

 ben gleicli <l>(in)/i', weiui // <ler Relativgrad von k'jk bedeutet, 

 so dass sicli nebenbei ergibt, dass die m-teilungsgleicluuig in k' 

 irreducibel ist. Wir müssen aber fernerliin die zu Beginn des 

 Artikels unterschiedenen drei Fälle einzeln in Betracht ziehen. 



( [) J = 0, (4). 



