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— cc-h c.;, -I- . . . ^- f„ — 



SÉANCE DU 5 JUILLET 1909. If) 



n 



Vf,— i„ et o-(>.)=: S, pour. )v„_| < )v ^ >.„ ; 



1 



}v,e, + . . . + /.„c„ 



X„ 





et, dans un ordre d'idées général, 



^.\'' , / ^A" . . „ f. '^"Y 



Nous appellerons la sommation par ces moyennes la sommation typique 

 d'ordre k des séries aux exposants A, , 7.^, . . . , X„, .... 



Dans cette Note nous devons nous contenter de signaler quelques pro- 

 priétés remarquables de ces moyennes. 



Dans le cas >,„-=/(, c'esl-ii-rliie dans le cas qui provieiil d'une simple Iransforma- 

 lioii de la série en/ièrr, nolie méthode nous conduit à des moyennes entièrement 

 équivalentes au\ iiioyennes aiit/iDH'U/jiics. (La forme est ditTérenle, excepté X := o 

 et I.) 



Au cas 7„:=^log/(, qui est des plus intéressants, nous appellerons la sommation 

 typique sontinatinti lof^^arilh inique. Un calcul élémentaire montre que la limite qu'on 

 obtient de (i ) eu y posant Â„:z= log« et la limite 



(3) lim 



•^1 ^2 ^n 



- -t- - + . . . + — 

 I 2 II 



log/i 



existent en même temps et sont égales. De plus, on a les lliéorèmes : 



I. Une série quelconque étant sommahle par les moyennes arithmétiques 

 d'ordre li est sommahle par les moyennes logaritl uniques du même ordre. 



II. Supposons que la fonction J\s) représentée dans une partie du plan par 



la série convergente 7 a^e"^"' est régulière dans le domaine \{{s)^ c et n'ad- 

 met sur la droite R(^) = c d'(Uttres points singuliers que des pôles ri des 

 points critiques algébriques {en nondire fini) d'un ordre d' in/iniltule '^ m ( ' J. 

 Supposons, de plus, qu'il existe un nombre m' tel que la /onction f{s) satis- 



(') Dans nn travail delnilN', nou^ détnontrerons ce lliéoréme dans une forme beau- 

 coup pins générale. VA', la remarque faite au sujet du théorème III de notre Noie inti- 

 tulée : Sur les séries de Dirichlet (-.îS juin 1909). 



