20 ACADEMIE DES SCIENCES. 



fait, dans le dc/ni-plaii \y^s)-^c, à la coitdilioji 



\f{s)\ <C\s\"'' 



i^f)()iir des 1 5 ] assez grandes ). Mors la série est sonvnable en loul point régulier 

 de la droite \\.(s') = c par les moyennes typiques d'ordre k, ktlésigtianl un 

 nombre positif tel que 



k > m' el k^ m — i. 



La sommation est uniforme sur toute portion finie de la droite qui ne contient 

 que des points réguliers. 



Par exemple, la fonction '((5) rentre bien dans cette classe. Sa série est 

 sommable par les moyennes logarithmiques d'ordre i sur toute la droite 



sauf le point j? = i. Ce fait résulte aussi immédiatement de la formule de 

 M. Kinkelin, en tenant compte de la forme (3) de nos moyennes. 



Le résultat le plus remanjuable que nous avons obtenu par les moyennes 

 considérées se rapporte à la multiplication des séries de Dirichlet. Soient 

 Va„e"'"'" et 'Sb„e~''''"' deux séries de cette espèce. Leur produit foruiel 



donne de nouveau une série de Dirichlet qu'on obtient en ordonnant les 

 quantités A„+ a,„ d'après leur grandeur. Nous écrivons l'égalité formelle 



1 



Le théorème que j'ai en vue (généralisation du théoième de Ccsàro sur 

 la multiplication de Cauchy) est le suivant : 



IIL Les séries ^a,, et "V/>„ étant convergentes la série V»",, est sommable 

 I I I 



par les moyennes typiques d'ordre i (formées avec les exposants v)et la somme 



ainsi définie est égale au produit V a„ V b„ . 



1 I 



M. Landau avait démontré le théorème d'Abel pour le produit des 

 séries de Dirichlet dont au moins l'une possède un domaine de convergence 

 absolue ('). Pour le cas général il regarde la question comme ouverte. Par 

 notre résultat cette question est résolue par l'affirmative. 



('} E. l^ANDAT, Uflier die Mulliplikalioit Diriclilet'sclicr liiclien (HcndiLunli (tel 

 Circnlo mat. l'aleniiu, l. WIV. p. t33). 



