SÉANCE DU ) JUILLET 1909. 21 



A celle occasion nous ne nous airèlons pas à la question de la mniliplicalion des 

 séries plusieurs fois indélernainées, l'indéterminalion étant définie par nos moyennes 

 Ivpiiines. Nous préférons envisager un peu |iins allenlivement le cas particulier 



/.„ =r log«. Nos séries de la forme > rt„ 'i^' el 7 /',, " 'étanl convergentes, nous avons 



vu que leur produit est somniable par les nivyetuies logarithmiques d'ordir 1 ( '). 



Par contre on peut donner des séries de Diricldet convergentes dont le produit n'est 

 sommable par aucune moyenne aritlimélique (^). Telles sonl par exemple aux points 

 I _l_it(<j2£o) les séries qui représentent les fondions [Ç(i)]'' et [Ç(.ç)]l^, et p. désignant 

 deux nombres positifs <Ci et tels que 7. +p.2i. Ce fait gagnera en intérêt, si nous 

 ajoutons que la sommation par des moyennes logarithmiques d'ordre i n'est aucune- 

 ment plus générale que l'ensemble des méthodes des moyennes arithmétiques, l'ar 



conséquent les séries ^ /(log/icos/io el ^ « log/t sin /; o[o ^ o ( mod2 7T)] sont som- 



mables par toute movenne arithmétique dont l'ordre (entier on non) est > i. On voit 

 immédiatement qu'elles ne le sont pas par les moyennes logarithmiques d'ordre i. 



ANALYSE .MATHÉMATIQUE. — Sur les intégrales singulières de certaines étjun- 

 lions différentielles algébriques. iVote de M. lî. Gambier, pivsenléc paf 

 M. Painlevé. 



D&nsXii^ Comptes rendus ày\ i S janvier icjtx), M. Cliazy éludie des équa- 

 tions différentielles du deuxième ordre el du deuxième degré dont l'intégrale 

 générale est uniforme, tandis que Fintégrale singulière possède des points 

 criti(jues mobiles. 



Je voudrais, dans le même ordre d'idées, citer une équation du troisième 

 ordre et du deuxième degré dont l'intégrale générale et l'intégrale singu- 

 lièt^e sont respectivement les racines P"'"*"' et Q"^"'^*de fonctions à points cri- 

 tiques lixes, P et <) étant des entiers aussi grands qu'on veut. 



Dans ce qui suit, p cl q on bien // et q' sont un couple d'entiers premiers 

 entre eux; a(a.-), 0(x), A(j;) sont des fonctions analylicpies de j.\ 



(') On obtient un résultat intéressant en joignant ce lait au théorème suivant : 

 La sciie ' /.„ rlanl soniinahle par les moyennes logaril/iniiques d'ordre i,_la 



série ' ■; — — est sommable par les moyennes arillimi-ti(/iies du même ordre. Il en 

 .i-d iog/i ' -^ ' 



résulte (jue la série » c„/(^*' et ses dérivées sonl sum/nables par les /tiémes moyennes 



pour toute râleur de s telle rjue l\(s) > o. 

 ('-') Voir le théorème 1\ de notre Note cilée. 



