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 Je forme une équation analogue, contenant une constante arbitraire 



d'où, en éliminant la constante arbitraire, 



(3) R'=,VK[£.;(z!__z:;)+A(,r) . 



L'équation (3) possède les propriétés annoncées : elle est du troisième 

 ordre et du deuxième degré, l'intégrale générale est donnée par (2) où l'on 



A(x)da\ c'est la puissance , '-^, ^de 



l'intégrale d'une équation linéaire et du second ordre. L'intégrale singulière 



est donnée par (i), c'est la puissance — - — de l'intégrale d'une équation 



linéaire et du deuxième ordre. Les entiers (p -+- q)(/'^ — />(/'- et p + q peuvent 

 être pris l'un arbitraire, l'autre aussi grand qu'on veut. 

 Si je pose maintenant 



où D désigne un diviseur quelconque de qq'', l'équation (3) donne une 

 équation en v du troisième ordre et de degré élevé dont l'intégrale générale est 

 à points critiques fixes (puissance entière de l'intégrale d'une équation linéaire 

 du deuxième <u-dre) et dont l'intégrale singulière est la puissance 



V{p-^'i)'i"—' i""'-Vi 

 d'une telle fonction . Il suffit mainteiinnt de poser 



dx' 



pour avoir une équaliou en V d'ordre /•+ 3 de degré égal à celui de l'écjua- 

 tion en v, dont l'intégrale générale est à points critiques fixes, pendant que 

 l'intégrale singulière, qui contient r -\~ -j. constantes arbitraires, a des points 

 critiques mobiles. 



