SÉANCE DU ■) JUILLET 1909. 2.3 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les éqiuilions (liffèrenlicUes linéaires et les 

 Iranscendantes uniformes du second ordre. Note de M. Keni<: (iahmer, 

 présentée par M. Painlevé. 



i. Considérons une éqnation linéaire du second ordre qui ne possède 

 comme sin;^niarités à distance finie c[ue deux [loints, apparemment singu- 

 liers, X et [j.. Cette équation est de la forme 



0.'-- 



où p et n satisfont à des conditions connues. 

 Le problème que je traiterai ici est le suivant : 



Choisir pour a,„, . . ., a„, A, a, p, t des fonctions de deux paramètres t el u, 

 et déterminer quatre fonctions A, B, (", D, rationnelles en a.- (^dépendant 

 de et u) de telle sorte (pie le système 'S for/tu' par les équations (i) et (2) 



dt ^ dx Ou - dx 



soit complètement intégrable. Je me limiterai d'ailleurs au cas où rentier//? 

 ne dépasse pas /( ( ' ). 



Je montre d'abord que, par une transformation simple, on peut prendre 



X — /. X — [J. X — A X — [x 



On doit avoir 



' ()t ' Ou 



"2. Supposons d'abord 



(--P)^-(-/-â)-9^o. 



On peut prendre alors,pour nouveaux paramètres 



<, = cp( /. Il) 



( ' ) Ce problème renferme comme cas parliculifi- le problème Unité (lan< les 

 Comptes rendus. 17 mai 1909. 



