SÉANCE DU ■) JUILLET 1909. û5 



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ciotils nuinrriques do l^, v, -j- et tr, où v, ic di-sigiiciil uiio soluti 

 conque du système (()) pour (S3) et (7) pour (H', ) : 



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Z>rt/Kv Ions les ras E-, Y), 'Ç son/ ries fondions uniformes de /,, qui pour (S:,) 

 ct(Z'/) sont transcendantes de second ordre. Dans ces deux derniers cas 

 rinlégrale de (3) est une fonction cssenliellcnienl transcendante de deux des 

 constantes d'intégration et algél)rique de la troisième; pour satisfaire à (4) 

 il faut prendre pour les deux premières des constantes absolues; la troisième 

 reste une fonction arbitraire de ih . Le point \'- = X. •/), "( décrit, lorsque /, 

 et //, A'arient, une surface transcendante possédant un faisceau de courbes 

 l'atinnncUes ; celle surface appartient à un réseau transcendant dont les élé- 

 ments se correspondent par des Iransformalions biuniformes. (Jn peut faire 

 dégénérer la surface (Ç, ïj, X,) en surface elliptique possédant deux faisceaux 

 de courbes de genre 1 : les courbesdu faisceau rationnel sont équianliarmo- 

 ni(pies pour (1^) et liannoni({ues pour (-, ), et la surface (X, ■/], X,) devient 

 alors une transformée (biralionnellc ) de la surface réglée elliptique. 



11 est bien remarquable qu'on puisse retromer deux des transcendantes nou- 

 velles introduites par M. Painleve en parlant directement du système (3), (4) 

 (où l' désigiK^ une fonction cpielconque de ^, •/], f,) : on trouve, en efTet, que ce 

 système n'est complètement intégrable que si l'(H, •^,/,)cst de la forme (5). 



3. Si l'on suppose maintenant 



on en conclut 





„ dr(o) ._ '>'•(?) 



P - —AT-' y 



)t. ' ûii 



Les coefficients de ( i ) se réduisent à des fonctions de oi^t^ u) ^=^ t^, et les 



d'j, 



I ,/i o p 



fonctions ^, Y], ^, 5 = -r- satisfont au système 



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