SÉANCE DU 12 JUILLET I909. lo'i 



Des explications que m'a données M. Riesz, il résulte que ma rédac- 

 tion ne serait correcte que si, dans la dernière phrase citée, on intercalait 

 les mots un nombre arhitraireinenl choisi inférieur à entre ê<^ale à et celle 

 (leE. En somme, aprosavoir constaté que E, -+-(E^. — E,) -l-(l"-3 — E^)-!- ... 

 est formé d'ensembles sans point commun et contient E, ce qui est tout 

 le raisonnement, j'aurais dû formuler autrement la conclusion : l'ensemble 

 des points de E qui n'appartiennent pas à 1% a une mesure qui tend vers 

 zéro avec /i; ce que j'ai d'ailleurs fait dans l'énoncé rappelé au début. 



Je me félicite que mes écrits soient lus avec tellement de soin (ju'on y re- 

 lève même les erreurs de la nature de celle dont il s'agit ici. 



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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les singularités (les fondions analytiques 

 uniformes. INote de M. D. Pompeii;, présentée par M. P. Painlevé. 



Considérons une fonction analytique uniforme /(:;) ayant les propriétés 

 suivantes : 



1° Les points singuliers Ac f(z) sont tous situés sur un segment recti- 

 ligne AB. 



2° On a, quel que soit :, dans le voisinage du segment AB, 



l/(-^j|<M, 



M étant un nomljre positif live; autrement dit, la fonction est bornée au 

 voisinage de ses points singuliers. 



3° A l'infini la fonction /"( s) est nulle. 



Dans le cas où tous les points de AB sont singuliers (AB coupure essen- 

 tielle), des exemples de telles fonctions sont bien connus. Mais le cas inté- 

 ressant est celui où les points singuliers de/( = ) forment sur AB un ensemble 

 parfait partout discontinu. J'ai donné, dans ma Thèse, un exemple d'une 

 telle fonction uniforme. Mais, dans tous les cas, la longueur de l'ensemble 

 des points singuliers de /(;), si cette fonction est bornée, est nécessairement 

 non nulle. 



Dans ce qui suit je me propose de définir sur l'ensemble des points sin- 

 guliers de /( = ) deux fonctions '!>(-) et ?( = ), non analytiques, qui carac- 

 térisent complètement la fonction analytique uniforme/(c). Ces fonctions 

 jouent donc, en un certain sens, pour /(s), le même rôle que la /o/?c/?on 



caractéristique G I ^ — j pour une fonction ayant un point singulier essentiel 



isolé z = a, G étant une fonction entière. 



