Io4 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



Je définis d'abord la fonction $. 



Pour cela j'introduis les notations suivantes : par les lettres a et ^ je 

 désigne les affixes des points A et B, supposés singuliers pour /(s); par 'Ç 

 je désigne tout point situé sur AB, et par ^ les points -extérieurs à AB; enfin 

 je désignerai par u les points du plan complexe lorsqu'il n'y aura pas lieu 

 de distinguer si ces points sont des t ou des z. 



Cela posé, du point A comme centre je décris un cercle C passant par un 

 point (^ de AB et je forme l'intégrale 



<i>{i:)=ff(n)du. 



La fonction f{u) étant bornée, l'intégrale a certainement un sens. 11 est 

 vrai que /(w^ n'est pas définie au point ;< ^ "(, mais cela n'a aucune influence 

 sur la valeur de l'intégrale. 



La fonction $(C) se trouve ainsi définie pour tout point 'C du segment AB. 

 En particulier, au point a, on a 



$(«) =0. 



Il est aisé de montrer que $('C) est une fonction continue de '(. Dans un 

 intervalle ("Ç, C) où la fonction /(-) n'a pas de points singuliers, $ reste 

 constante. Mais on peut démontrer une autre propriété importante de la 

 fonction $(Ç) : 



Deux fonctions analytiques ( remplissant les conditions précisées au début 

 de cette Noie) qui ont mêmes points singuliers et donnent naissance à la 

 même fonction $ coïncident identiquement. 



En d'autres termes, si $ est identiquement nul, il en est de même de /(s). 



J'indique la marche de la démonstration : 



On part de la formule de Cauchy 



le contour fermé G enveloppant le segment AB et le point s étant extérieur 

 à G. Pour évaluer l'intégrale du second membre on applique le procédé 

 bien connu de M. Goursat (voir aussi ma Thèse, Chapitre I de la première 

 Partie) basé sur la division du domaine (G) en régions élémentaires. Mais 

 le contour G a pu être pris aussi près qu'on veut de AB; donc l'aire du 

 domaine (G) est aussi petite qu'on veut, et à la fin on montre que si $(r) 

 est identiquement nul, il en est de même de /('■)• 



