SÉANCE DU 12 JUILLET 1909. Io5 



Donc la fonction $('C) caractérise /(=). Mais on peut aller plus loin. 

 Soit s la distance du point '( au point a ; on voit que 



*(Ç) = <i),(.9)-h/a),(,o, 



les $, et $0 étant deux fonctions réelles de la variable réelle s. 



Il est facile de montrer que ces fondions continues sont à variation bornée. 

 Or, M. Lebesgue a démontré que toute fonction à variation bornée admet 

 une dérivée finie, sauf peut-être pour des points formant un ensemble de 

 mesure nulle. 



Il existe donc deux fonctions 9, (^) et zi-^i^) et par suite une fonction 



définie sur le segment AB, sauf peut-être pour des points de AB formant un 

 ensemble de longueur nulle, et telle que 



'»'(Ç) = ?(C). 

 On démontre enfin que 



ce qui donne la représentation générale de la classe des fonctions analy- 

 tiques considérées. Les points I^, pour lesquels o n'a pu être défini, formant 

 un ensemble de longueur nulle n'ont aucune influence sur l'intégrale. 



La démonstration de l'égalité (i) se fait en faisant voir que la fonction 

 définie par l'intégrale du second membre et la fonction /(:■) ont mêmes 

 points singuliers et même fonction tp. 



HYDRAULIQUE. — Sur les systèmes de réservoirs. Note de M. Ed.>ioivd Maillet, 



présentée par M. Jordan. 



J'ai étudié antérieurement les systèmes de n réservoirs S,, . .., S„ pou- 

 vant communiquer deux à deux, en envisageant surtout les réservoirs de 

 liquide dont la surface est libre et dont les dispositifs de communication ne 

 sont pas noyés. Plus généralement, quand on veut étudier le mouvement 

 de «réservoirs (d'eau avec surface libre, de gaz, de cbaleur ), communi- 

 quant deux à deux, l'état de S, étant caractérisé par une quantité s,- (cote 

 du niveau supérieur de l'eau, pression, température), on est conduit à un 



