SÉANCE DU 19 JUILLET 1909. 199 



I. J'admets en outre que les F, soient nuls, c'est-à-dire que les X, s'an- 

 nulent, quel que soit u., pour .r, = . . . = ,r„ = o ; alors, les solutions réelles 

 Xf, . . . , x„ de (i), dont les valeurs initiales (pour / = o) ont des modules 

 assez petits et qui correspondent à une valeur réelle quelconque de a de 

 module assez petit, tendent toutes vers zéro quand l croit indéfiniment dans 

 les cas suivants : 1" les racines de sont distinctes et ont toutes leur partie 

 réelle <;o; 2" les racines de 5 sont toutes réelles <|o ( '). 



II. Je suppose au cont/;ain' que les F/ ne soient pas tous nuls, et j'ad- 

 mets que les coefficients des X, soient des fonctions périodiques de / de 

 même période oi. I'>n utilisant un procédé connu de M. II. Poincaré, j'ob- 

 tiens ce résultat : pour chaque valeur réelle de jjl de module assez petit, et 

 pour chaque valeur entière de p supérieure à une certaine limite, le sys- 

 tème ( i) possède une solution périodique réelle de période ^jco, quand les 

 racines de l'équation = o ont toutes leur partie réelle <[o. 



Il semblerait que les systèmes considérés au cas I, avec F, = o, dussent 

 donner lieu aussi à l'application du procédé de M. H. Poincaré et à des 

 solutions périodiques, quand les coefficients des \, sont périodiques de 

 période w. On peut vérifier qu'il n'y a pas de contradiction avec les résul- 

 tats I, car cette solution périodique se réduit à a:, = . . . = .r„ ■-= o. Les cas 

 I et II sont donc essentiellement distincts. 



III. Tout étant posé comme au début du cas 11, j'admets que les racines' 

 de = o aient leur partie réelle <;o et soient toutes distinctes ou toutes 

 réelles, comme dans le cas I. Alors, pour chaque valeur réelle de \j. de mo- 

 dule assez petit, le système ( i ) a une solution périodique réelle unique de 

 période w, et toutes les solutions réelles de (i), dont les valeurs initiales 

 ont des modules assez petits, sont asymptotiques à cette solution périodique. 



Quand [ji. = o, la solution périodique se réduit à la solution permanente 

 o;, = . . . = .r„ = o, et toutes les solutions réelles de ( i ) dont les valeurs ini- 

 tiales ont des modules assez petits tendent vers zéro. 



IV. Incidemment, appelant fonction asymptotiquemenl périodique de /, 

 de période co, une fonction /(/) limitée telle que, t étant un nombre positif 

 donné arbitrairement petit, | /"(/ -1- /;ko) — /*( n] <<îî quel que soit l'en- 

 tier ni, dès que / est assez grand, j'énoncerai ces deuv propriétés : 



I" Toute fonction réelle asymptotiquement périodique /(/), de période tu, 



(') Ce théorème reste vr;u quand o, satisfait à d'autres conditions; e\eniple <7m 

 particulier : l'enseuible 'i, des tenues de o, qui sont de degré > i en Xj est 



■J>, =.r?lo!,'.r, (.r,>o). 



