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lig^nes ('). Plaçons-nous, pour fixer les idées, dans le premier cas : il existe 

 alors un chemin r/, (x, x) du plan j- qui fait décrire à y le rayon yy] joi- 

 gnant à /] un point du contour y. Appelons y' un point qui tourne indéfini- 

 ment (toujours dans le même sens) sur le contour y à partir de y, et con- 

 sidérons le chemin (/ du plan x qui correspond au rayon rj'' entraîné 

 avec y. A deux positions successives du rayon riy' correspondent deux 

 chemins <f contigus (-) et ne se coupant pas. On en conclut qu'à l'ensemble 

 des rayons •/] y' correspond un ensemble de chemins d' recouvrant une cer- 

 taine bande L du plan x. La frontière de celle bande est une ligne o sur 

 laquelle y prend une infinité de fois les valeurs situées sur le contour y; la 

 ligne ne se coupe pas elle-même ; elle l'u, d'ailleurs, de l'infini à l'infini, 

 puisqu'il ne peut y avoir à dislance finie une infinité de points où x reprenne 

 la même valeur. Ainsi la ligne o partage le plan ,v en deux régions. Nous 

 considérerons comme région intérieure celle (L ) qui contient le chemin d. 



Ces diverses conclusions subsistent dans le cas où le chemin jy' y) n'est pas 

 rectiligne, et, par conséquent, dans le cas où le point y] est indirectement 

 critique [voir note (')]. 



Supposons maintenant que l'une au moins des branches de x(y) qui sont 

 critiques en y] (et sont situées dans L pour y voisin de ■/]) présente à l'inté- 

 rieur de y un point transcendant /], voisin de ïj. Entourons y), d'un contour 

 convexe y, intérieur à y et ne contenant pas yj; puis suivons, sur un rayon 

 ou une spirale aboutissant en y],, une branche de x(y') singulière en ce 

 point : nous obtenons dans le plan x un chemin infini d,, qui ne peut pas 

 sortir de L (x ne prend aucune valeur située sur o, puisque y ne prend 

 aucune valeur située sur le contour y). Procédant alors comme tout à 

 l'heure [je suppose d'abord que le contour y, ne traverse aucun point trans- 

 cendant de .a;(jy)], j'obtiens un ensemble de chemins d], contigus à rf, , sur 

 lesquels jy tend vers y], ; ces chemins remplissent une bande L,, limitée par 

 une ligne o, sur laquelle y prend une infinité de fois les valeurs situées 

 sur y,; la ligne o, (et la bande L,) sont intérieures à L; d'ailleurs o, ne 

 se coupe pas elle-même et va de l'infini à l'infini. 



(') Dans le premier cas, le point ti est point Iranscendant directement critique 

 de a:{y). Dans le second cas, les clieniins (j) co::s:dérés sont nécessairement des 

 spirales s'enroulant une infinité ëe fois autour de ri : le point n est indirectement 

 critique. 



(') Si -rij' traverse un point critique, on obtient, sur ce cliemin, deuv détermina- 

 tions de a:{y) dont l'une est contignë au chemin d' considéré précédemment. 



