SÉANCE DU 26 JUILLET 1909. 257 



Cela posé, je dis que : entre les chemins infinis d, intérieurs à L, sur les- 

 quels y tend vers yj, et les chemins infinis, intérieurs à L,, sur lesquels y tend 

 vers Y),, il existe nécessairement des chemins injînis sur lesquels y tend vers 

 l'infini. En efl'et, soil v, un point du contour y, et.x,_,, a;,, x,^.,, ... les 

 points de la ligne 0, où y ^ Vc Nous admettrons, pour fixer les idées, que 

 ce sont les points x^ d'indices positifs qui s'éloignent vers l'infini sur la 

 branche de 0, située, par rapport à L,, du même côté que le chemin d. 

 Traçons un rayon y, co, qui ne passe pas par ■/], et suivons, le long de ce 

 rayon, les branches de x{y) qui partent des valeurs initiales a7,, a;,+,, .... 

 Nous obtenons, dans le plan .r, une suite de chemins infinis A,, 1,+,, . . . qui 

 ne se coupent pas; ces chemins sont extérieurs à L,, car ils partent de la 

 ligne 0, du côté extérieur à L, et ne peuvent rencontrer une seconde foiso, ; 

 d'ailleurs, lorsque l'indice i va croissant, tous les points du chemin A, 

 s'éloignent indéfiniment [autrement y(a:;) reprendrait une infinité de fois la 

 même valeur à distance finie]. "De là résulte que, si la proposition énoncée 

 était inexacte, les chemins A, d'indices positifs arbitrairement grands 

 devraient traverser arbitrairement près de l'infini la bande L des chemins d' \ 

 mais alors, sur ces chemins, y prendrait des valeurs arbitrairement voisines 

 de Y], ce qui est contraire à l'hypothèse. Les chemins A, s'éloignent donc 

 vers l'infini entre et ô,. 



J'ai supposé plus haut que les contours y et y, ne traversaient aucun 

 point transcendant de x{y). Cette hypothèse (qui se trouve être toujours 

 légitime) n'est point indispensable à la démonstration qui précède. Sup- 

 posons, en effet, que [lorsqu'on fait varier les coefficients de la fonction 

 entière j'(a:'')] y, y, viennent à traverser des points transcendants : les lignes 

 frontières 0, S, se décomposeront alors en plusieurs branches infinies ne se 

 coupant pas; considérons, en ce cas encore, deux branches infinies de et 

 0, entre lesquelles se trouvent des chemins d' : je constate qu'i/y a néces- 

 sairement entre la branche et la branche 0, des chemins infinis sur lesquels 

 y tend vers l'infini. Soit, d'autre part, a un nombre quelconque de grand 

 module [supérieur à j •/] | et |y], |] : les remarques faites plus haut sur les 

 chemins A, établissent (^n'entre les branches infinies et o, considérées, il y a 

 une infinité de racines de y ( x) — a . 



Ces résultats, que j'ai déjà indiqués ailleurs, sont obtenus ici indé- 

 pendamment du théorème préliminaire énoncé au début de cette Note. Et 

 l'on peut en déduire, précisément, ce même théorème. 



Considérons, en effet, dans le plan v, un chemin quelconque, c, situé 

 tout entier à distance finie : supposons que ce chemin traverse des points 



