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transcendants de x{y), et appelons •/), y], deux quelconques de ces points : 

 il y a nécessairement entre ■/] et T^^ des points de c où xi^y) est holomorphe. [De 

 plus on peut joindre deux points transcendants quelconques, y], yj,, par un 

 chemin c sur lequel x{y) est partout holomorphe, sauf aux extrémités.] 



Considérons, d'autre part, l'ensemble des points transcendants y], ■/],,.. . 

 de x{y). Nous pouvons tracer, dans le plan x, un ensemble de chemins 

 infinis J, «?,,... ne se coupant pas, sur lesquels v tend vers les diverses 



valeurs v;, ïj,, Et nous savons, d'après ce qui précède, qu'entre deux 



branches infinies f/, c?, quelconques, ily a une infinité de racines dej'(a") — a. 

 J'en conclus que Vensenible des singularités transcendantes de x( y) est 

 dénomhrahle, de même que V ensemble des racines de y(^x) — a. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les fonctions analytiques uniformes 

 à singularités discontinues. Note de M. Arnaud Dexjoy, présentée 

 par M. Painlevé. 



Les remarquables travaux de M. Pompéiu sont, à ma connaissance, les 



seuls où se trouvent des exemples concrets de telles fonctions (' ), telles que 

 leur indétermination au voisinage des points singuliers soit incomplète. 



I. On sait que le théorème de Cauchy ne s'oppose pas à ce qu'une fonc- 

 tion analytique présente un ensemble de telles singularités qui soit parfait 

 discontinu et de longueur non nulle, dans tout domaine à l'intérieur duquel 

 l'ensemble possède des points. M. Pompéiu en a formé des exemples théo- 

 riques, mais sa démonstration prête à quelques réserves. Voici un exemple 

 particulièrement simple : 



Supposons, pour fixer les idées, cet ensemble E, linéaire ayant pour 

 extrémités les points o et i . Soient a„, a,'^, (a„ <C «„ ) les extrémités du «'«"•= 

 des intervalles contigus numérotés de i à Tinfini. Soit a^ = o, a„ = i. Le 



produit H (^) = FI ^est uniformément convergent dans tout domaine 



-■- .■- iX- '''rt 







fermé ne contenant aucun point de E,. La fonction H(a:) a pour argument 

 une fonction uniforme, qui s'interprète de la façon suivante, si sa détermi- 

 nation à Tinfini est nulle : c'est la mesure de la projection de E, sur le cercle 

 de centre ^ et de rayon i, effectuée radialement à partir de z (angle sous 

 lequel on voit E, du point z). 



(■) Thèse, Paris, 1905. — Comptes rendus, t. CXXXIX, 1904, p. 9i4; Id. 

 I 2 juillet 190Q. 



