SÉANCE DU 26 JUILLET 1909. 209 



Donc G(x) î= logH(ic) est une fonction uniforme. Sa partie imaginaire 

 est comprise entre — i~ et -l- i~. Donc F, {.r) = é^^^' a son module compris 

 entre — - et -+-t:. Le domaine d'indétermination de F, est à connexion 

 double (couronne circulaire). Au voisinage des points 011 la mesure locale 

 de E, est nulle, ce domaine d'indétermination est un cercle. 



On déduit de F, des fonctions K, possédant chaque point de E pour point 

 singulier et admettant cependant sur E, un ensemble partout dense de points 

 de continuité. Ces fonctions possèdent les trois variétés possibles de domaines 

 d'indétermination, le point, la ligne fermée (cercles), des aires d'un seul 

 tenant (couronnes circulaires). On a 



G(x) = logH(.r)=_N log(a:— rt„)-log(x — 



-=-i/-,ê.=X, 



dz 



la dernière intégrale étant prise au sens de M. Lebesgue. 

 Plus généralement, si '\i{x) est une fonction positive, si 



r(x) 



_ r 'H=) 





$, (ce) = e'""'^' est une fonction dont le domaine total d'indétermination est 

 à connexion double. Rien n'empêcbe, dans l'intégrale qui donne F, de 

 supposer l'ensendjle E, réparti sur une courbe rectifiable quelconque. 

 L'interprétation géométrique dans le plan complexe subsiste. 



M. Pompéiu a montré dans une récente JNote (12 juillet j la possibilité de 



"^ dz. 



Je connaissais ce résultat. Je l'avais obtenu en partant du développement en 

 fractions rationnelles de la fonction, voie très féconde par où s'obtiennent des 

 généralisations au cas où, étant la distance de x k E,, F est inférieur 

 à Q-"'. 



Si la longueur de E, s'annulait, aucune modification formelle n'apparaî- 

 trait dans îl(x), et cependant H(a?) serait identique à i. On a donc une 



n 



suite de fractions rationnelles II— convergeant uniformément vers 1 





 dans tout domaine fermé ne contenant aucun point de E,, et une autre suite 



\ convergeant dans les mêmes conditions vers zéro. 



^ '-^ Il , 



IL Supposons que E^ soit de longueur infinie et d'aire nulle. D'après le 



