SÉANCE DU 9 AOUT 1909. 887 



Je ne sais si la fonction 



est bornée. En tous cas, la série converge, est holomorphe hors de E^, sin- 

 gulière snr E3 et sa priniilive est uniforme et conli/iue sur E^,. 

 De même qu'il existe des fonctions ^(S) telles que 



soit bornée, si E, est linéaire, de même il existe certainement des fonctions 

 ci(^, ■/)) telles que 



soit bornée. Inversement, une fonction F'., bornée sur E^ et dérivée d'une 

 fonction uniforme F., peut se mettre sous la forme précédente, étant 



(sauf peut-être sur un ensemble de mesure nulle) une dérivée — j^ — 



bornée et dont les zéros sont partout denses. 



Nous allons déduire de F., une fonction uniforme dont la fonction imerse 

 est également uniforme. 



Soit y = Kx + B -\-¥^{x). Supposons — A non intérieur à un champ 

 convexe englobant l'ensemble (dont le complémentaire est, a priori, fermé) 

 des valeurs d'holomorphisme de ¥'„. L'ensemble E!, de toutes les singula- 

 rités possibles de r(y) (valeurs ^ de y sur l'ensemble des valeurs a de .r 

 sur E., ) ne morcelle pas le plan parce qu'il est parfait discontinu. Donc 

 a;(y) a, dans tout le plan des y, le même nombre de déterminations. 

 Comme x est uniforme pour j infini, x est partout uniforme. On sait que 

 si I A I est supérieur à | F'(x)\, x s'obtient en y par une suite d'approxima- 

 tions définies par 



j= A^„+,-i-B-l-F,(a,-„). 



Il y a correspondance analytique hiunivoque entre les points de Ej et ceux 

 de E3. Chacune des fonctions x et y possède un ensemble (^a priori fermé j 

 parfait discontinu de valeurs exceptionnelles au sens de M. Picard (prises en 

 aucun point d'holomorphisme). 



Le principe qui permet de déduire d'une fonction bornée une fonction 

 dont la fonction inverse est, localement au moins, uniforme, paraît devoir 



