SÉANCE DU io AOUT 1909. /J47. 



calcul de son élément régulier ('V Or les méthodes connues d'intégration 

 ne satisfaisant pas toujours à cette condition de régularité, nous entendrons 

 par leur per fcctionnemenl tous les procédés conduisanl à utiliser, pour l'inté- 

 gration du système (i ), tout élément de ce système, que les fonctions de cet élé- 

 ment soient distinctes ou non par rapport aux i^ariables pi, p.,, ...,/?„. 



La résolution du problème posé résulte immédiatement des propriétés 

 canoniques des intégrales du système (2). Soit en effet, pour fixer les idées, 



un élément L quelconque (régulier ou irrégulier) du système (i), formé 

 par les fonctions 



(4) yi' /21 ■••' 7"" J in + \y ••■! J II 



supposées distinctes par rapport aux variables yj,, p.,, . . ., p/,, pk+,i ■ . ., pt, 

 X/+,, ..., .r,„, 'f,,,^,, x,,. Égalant à zéro les m premières fonctions (4) et 

 toutes les autres à des constantes arbitraires />,, b.,, . . ., /'„_„;, l'expression 



l n-l 



dz —'^Pi f/x, — V X/+,. dp,+^r 

 1=1 /•=» 



devient une différentielle exacte, moyennant les équations introduites. Soit 

 son intégrale 



z — \]{x-^.x., .r/, /?,+,, . . .,p,„,P„n-\, ■ ■ ■,Pinbuf>., . . ., Iy„-,n) -t- b, 



b étant une nouvelle constante arbitraire, le déterminant fonctionnel sui- 

 vant, ainsi que ses deux mineurs conjugués. 



cO' 



(') Il ne s'ayil ici que de la lliéoiie clabsi(jue crinlégiation, rinsuflisance des nouons 

 de S. Lie élanl démoatrée (cf. Alti del IV Congresso internazionale dci Matemallci, 

 Vol. II, Sez. 1, p. 77). 



(') Si les fonctions /,, /.,, .. ., /,„ ne sont pas distinctes par rapport à toutes les 

 variables/)^, l'inégalité (3) devient alors nécessaire. Ce cas peut se présenter si le sys- 

 tème (i) est un résultat de l'application de la méthode de Jacobi à un système d'équa- 

 tions dont le nombre est moindre que m. Or nous ne nous bornons pas par cette con- 

 dition en restant dans l'hypothèse la plus générale admettant l'inégalité (3). 



