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tous les trois étant distincts de zéro (^■<<y</</'0- ^^^' conséquent les 

 équations 



j:/4-,.= ; {r — m—/ + \,m — / + 2 /( — /) 



sont résolubles par rapport aux conslantes b,.j^t, ..., i„_,„. En désignant 

 par les parenthèses le résultat de substitution des valeurs de ces dernières 

 quantités dans les expressions entre parenthèses, on en conclut que le 

 système 



dxij' \àl>s) "' '( .? = / — /-+-I, / — / -H 2, ..., « — /« 



étant résoluble par rapport aux constantes b,, b.,, . . . , b/_j, «/_;+,, . . . , 

 a„_,„, définit (avec les m fondions données) n fonctions 



formant un nouvel élément L, du système (i), F^ représentant le résultat de 

 l'élimination de toutes les constantes b,,b.,, ..., b„_„, de l'expression -j^- 



La théorie exposée donne le moyen de passer d'un élément L à un 

 autre L,. Si l'élément L est irrégulier, les fonctions F; deviennent ana- 

 logues à celles que j'ai indiquées dans le cas d'une seule équation aux déri- 

 vées partielles ('), tout en remarquant que leur généralisation sur les sys- 

 tèmes d'équations était évidente (-). M. Slekloff vient d'obtenir les mêmes 

 fonctions dans son travail cité plus haut. On voit aisément que, dans le cas 

 considéré, L, présente un élément régulier du système (i), son intégrale 

 complète s'obtenant à l'aide des transformations algébriques ('). Or si 

 l'élémenl L était régulier, l'élément L, pourrait bien être utile encore pour 

 éviter certaines difficultés intervenant parfois dans les calculs algébriques 

 des intégrales complètes. 



Les considérations développées permettent encore de perfectionner la 

 méthode des caractéristiques. En vertu de (3), l'intégrale particulière des 

 caractéristiques du système (i) est résoluble par rapport aux variables 



(') La démoiistralion se fait comme dans le cas d'une seule équation (cf. Re- 

 cherc/tes sur ta théorie des cqualions aux dérivées partielles du premier ordre d'une 

 fonction inconnue, p. 201. Extrait des Communications de la Société mathématique 

 de Kliarkow, igoS). 



(^) Recherches sur la théorie, etc., p. 208. 



{') La démoiistiation se fait comme pour une seuleéquation (cf. Recherches sur la 

 théorie, etc., p. 194, et Comptes rendus, 10 août i<)o3). 



