SÉANCE DU l3 SEPTEMBRE 1909. 5o5 



le déterminant fonctionnel 



\ *i , *5i . . . , />p. ^p+1 , • ■ ■ , h„^,,^f j 



ne «'annulant pas. 



Les équations (4) représentent l'intégrale particulière des caractéris- 

 tiques du système en involution suivant : 



(5) 



(k — i,l, . . . , 7 ; / = 1 , 2, ..., m — q\ /• = i , 3, ...,«_/«_ p, ] 



$;. désignant les fonctions distinguées du groupe formé par les n -\- ^ pre- 

 mières fonctions (3) et les C^ étant des constantes qui s'expriment en fonc- 

 tion de toutes les constantes è,, b.,, ..., 6„_,+p. Or il n'est pas nécessaire 

 de connaître les valeurs explicites de ces dernières quantités, qui ne jouent 

 qu'un rôle auxiliaire dans la théorie considérée. 



Cela étant, on obtient l'intégrale complète du système ( ">), en éliminant 

 des équations (4) p constantes arbitraires telles que les valeurs résultantes 

 de z et àesps satisfassent aux conditions 



Cette élimination s'opère par les règles de la théorie des caractéristiques; 

 il suffit pour cela d'introduire, par exemple, au lieu des constantes arbi- 

 traires, les valeurs initiales des variables. Il va de soi-même que celte inté- 

 grale, renfermant n — q -\- i constantes arbitraires, représente en même 

 temps l'intégrale complète requise du système (i). 



Dans ma Note antérieure sur le problème de S. Lie, j'ai intégré les équa- 

 tions données (1) en cherchant le système complet des intégrales des équa- 

 tions linéaires 



(6) (/,,/) = o (A- = 1,2, ...,./). 



Or, à présent, l'intégrale complète dusystème(i) étant connue, on forme 

 aisément, rien que par diflérentiation, toutes les intégrales du système (6) 

 moyennant le théorème de .Tacobi étendu sur les systèmes d'équations par- 

 tielles que j'ai énoncé en 1899 (' ). Ensuite on verrait aisément que les inté- 

 grales obtenues de cette dernière manière sont identiques à celles que j'ai 



(') Comptes rendus, 24 juillet 1899; Bec/ierches sur la théorie, etc., p. 



