562 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



La fonction résolvante du noyau K(.r, H) est 



Y - 1 a - Y 



^K(.r, I) = ^_i-_ [,.,(.;) + Cj,(|)].v.{^) (.r;)"^[(. -^ .,.)(,__ ï)]"^ 



I pour X 1 ï), 



T- I «-T 



;x:(x,|>= J^^,-. [ji(.r) + C)-,(.r)]j|(^)(.rr:) '^ [(,_.,■)( i - >)| ^ 



(pour .■i->i), 



OÙ r,(a7) = F(a — X,A,Y,a^)ftv,(£r)=:.r' f F(a — A — y+ i , A— 7+ 1,2—7,.'^) 

 sont les solutions de l'équation (i), et où la constante C est déterminée par 

 la condilion (6) à laquelle la fonction résolvante rH'(.r,H'^ doit satisfaire, 



à savoir 



M T{y) T(y-a) _ r(«-y + Or(y) 



On voit que le dénominateur C de la résolvante s'annule pour les valeurs 

 de A satisfaisant à l'équation 



T(l)r(cx-l) __i_ r(jt — y + 1) 



Pour ces valeurs A, de X, le numérateur de la résolvante se déconq^ose en 

 un jiroduit de deux facteurs égauv 



:r - (i— .C) - V(X'-l,,l,,y,.T)- ' (i — if) '■ V{y.—'/.,,l,;y,'^), 



qui sont par conséquent les fonctions caractéristiques du noyau lv(.r, i) 

 satisfaisant à l'équation (3). O/i retromc de cette manière les fanct ions liyper- 

 géométriques orthogonales signalées par M. P. Appell (^Comptes rendus, 1879, 

 p. 3i ) et qui peuvent être considérées comme une généralisation des poly- 

 nômes de Jacobi. 



On obtient ces polynômes en posant M = o dans les formules précédentes 

 et en remplaçant (4) par 



lui «-T 



K(.r,ï) = (x>) -^ f(,_.i.)(,_:)| ^ \f{x)~Ko{^)Ui.■r)+f(^)^ 



+ \\'h(.r) -h|(Ï)]4-9.A=H| 



K(,r,ï)=r(.r;) ^ |;(, _.,.)(, _^)J ^ ;/^;) _Ao(l)[/(x)+/(;|] 



