SÉANCE DU 4 OCTOBRE 1909. 563 



OU 



f\x)= I .r-ï(i — .r)Y-«-'f/j-, 9(.r)= /.fï-'li — .r)''-r (U; 

 ({;(.r)= Toi j:)J-T(,_.r)T «--•</.,■, A= j ^-ï-' ( r - a- )='-T ^/.r 



Ayant trouvé ré(juation inlét^ralc (3), on déduit dp la ihcoriL- générale 

 de M. D. liilhert la possibilité de développer une fonction arbitraire d'après 

 les fonctions hypergéométriques orthogonales et les conditions auxquelles 

 la fonction arl)itraire est soumise. 



ANALYSi; MATHÉMATIQUE. — Sur les ëquativm diJfèrenlieUc.i dont i in le ivraie 

 générale est uniforme et admet des singularités essentielles niohdcs. 

 Note de M. J. Ciiazy, présentée par M. Painlevé. 



L'intégrale générale de chacune des équations 



(1) 7"=2/J"-3/^ 



(2) y"=^yy'-^y"+j^^A^y'-f-Y (« entier >6) 



est uniforme : elle admet comme coupure essentielle une droite ou une cir- 

 conférence variable avec les constantes d'intégration, et n'est définie que 

 dans la région variable située d'un cùté de la droite, à l'intérieur ou à l'exté- 

 rieur de la circonférence. La théorie des groupes automorphes a mis en évi- 

 dence des équations de la forme 



y"'r= - •L— .-t- j'3p(^y) 1 I* l^) lalioniiel ou algél)ri<jue eiij], 



dont l'intégrale générale est uniforme, et admet une ligne ou un enseml)le 

 parfait discontinu de points singuliers mobiles. La singularité est peut-être 

 plus inattendue chez les équations (i) et (2). 



Ces équations no changent pas quand on prend pour nouvelle variable 

 A.2-hB , , " AD-15C 6C . /' r> ]. ■ 



C^— ÎJ^t quon remplace y l"" \ca^ + D)^ ^^ " CT^Td' -^' ^' ^-' ^^ ^'■"- 



gnant quatre constantes arbitraires : on prévoit par là que la théorie des 

 groupes automorphes intervient dans leur intégration. Considérons l'équa- 



