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lion liyperij;oomctrique de (îaiiss 



t/'-z , I n \(/z l /' l I \ 



/(i -/). 



et deux intégrales disUiictes arbitraires de celte équation s et s,. L'équa- 

 tion x = -)(0 ■- -s(') définit une fonction de Sclnvarz /(.r) qui admel comme 

 coupure essentielle une droite ou une circonférence, et dont le tri;ini;lc fon- 

 damental a comme angles -' tt;-- La fonction — ^i admettant la même 



° 2 3 /< z dx 



coupure, est une intéj^rale de Féquation (i) ou (•î). L'équation (i) admet 



l'intégfrale particulière r- -H r--» mais son intégrale oénérale 



" ^ ,r + A (X H- A )- " ^ 



est liolomorphe dans la région où elle est délinie. L'é([uation ( -i) admet les 



. . , 1 ^ , • I • ■ 'J /( — (■> I /( -(- 6 I . , . I 



intecTalesparticuliiTos -■, r r; : son niteerale 



générale est méromorphe dans la région où elle est définie, elle admet des 



pôles simples de résidus 



()ti peut rattacher l'équation (2) à une équation aux dérivées partielles 



remarquable. Posons r = > et rendons la fonction ii liomotrène de 



degré - — — par rapport à :r et à une nouvelle variable :i\ : 11 vérifie l'équa- 

 tion aux dérivées partielles 

 ,,, &' u d'il , 0'' Il ()' Il ,, / à' Il 



dx'' ()x\ ûx' ijxi O.r (Jxl \àx- à.i 



La fonction «(.r) = (^)"^'', définie dans la même région que la fonc- 

 tion t.(a;), et liolomorphe dans cette région, est l'intégrale homogène de 



degré ^ de l'équation (4). Pour n = 2, 3, 4) 5, les fonctions u obtenues 



par ce calcul se réduisent aux polynômes de degrés 3, 4; **? 12, dont le 

 covariant (4) est identiquement nul, et qui s'introduisent dans la théorie 

 des polyèdres réguliers. 



Les fonctions u(x^ sont des fonctions thêtafuchsiennes, ou analogues à 

 des fonctions thêtafuchsiennes, et M. Poincaré les a signalées à ce point de 



vue. Par les substitutions (,r, -^ ^ j d'un groupe infini dont le [xdygone 



l'ondaniental est un triangle d'arcs de cercle d'antrles -> -, -' la foncliou // 



se reproduit multipliée par (y^o; + 0,)"" *; l'exposant est, en général, frac- 



