SÉANCE DU 4 OCTOBRE 1909. 565 



lionn.iire, et non entier p.iir comme pour les fonctions tlièlafuchsiennes. 

 Pour un choix particulier des intégrales s et s,, la fonction u(ap) coïncide 

 avec la fonction Z(x) formée par Halphen pour résoudre en fonctions uni- 

 formes l'identité 



Les fonctions uniformes solutions de l'identité 



X"'+ Y"H-Z''=:0, 



w, n,p étant trois entiers positifs tels que la somme 1 h - soit plus 



petite que i, ont permis à Halphen d'intégrer dlllV-rents systèmes d'équa- 

 tions différentielles, cpii jouissent d'une propriété d'invariance analogue à 

 celle des équations (1) et (•<), et dont l'intégrale générale a aussi une cou- 

 pure circulaire mojjile. Le |)lus simple avait été indicpié par M. Darboux : 



L'équation (i) est l'équation transformée de ce système en )', 4- y, -f- jKa- 

 Les équations (i) et (2) sont intéressantes encore au point de vue de la 

 notion àc simplijîée, introduite par M. Painlevé dans l'étude des équations 

 différentielles. La simplifiée d'une équation du deuxième ou du troisième 

 ordre, dont l'intégrale générale a ses points critiques fixes, est l'équation 

 obtenue en y remplaçant x par Xf, ■+- olx, et faisant tendre a. vers zéro. Il est 

 clair que, si l'intégrale générale de la simplifiée d'une équation à points 

 critiques fixes admet des singularités essentielles mobiles, l'intégrale géné- 

 rale de l'équation complète en admet aussi. Mais, pour les équations du 

 second ordre à points critiques fixes qu'on a formées jusqu'ici, la réciproque 

 est vraie. Elle ne l'est pas pour les équations du troisième ordre, comme le 

 montre l'exemple des équations ( i) ou (2), qui ont pour simplifiée y= o, 

 ou celui des équations transformées du système (5) en j',, ou jy, + Js- 

 Dans le même ordre d'idées, rappelons une équation formée par Jacobi, 



f{yy" + 3y'y" Y = j"^ { 6 j' j" - 7:^ ) , 



dont l'intégrale générale est uniforme et admet une circonférence mobile 

 comme coupure essentielle; la simpliliée, obtenue en supprimant — --, a 



comme intégrale générale (A.r -f- B)r*''^''; cette intégrale admet le point 



o 



essentiel isolé mobile — - ■ 



A. 



C. R., 1909, 2- Semestre. (T. 149, N" 14.) 77 



