SEANCE DU l8 OCTOBRE 1909. 025 



Picard ne sont plus applicables, au moins sans une discussion approfondie, 



les dérivées -r^, -^ cessant d'exister au bord. 

 ax ay 



Dans un Mémoire qui va paraître dans un autre Recueil, j'ai considéré 

 le cas général cité plus haut et jlai démontré par un raisonnement un peu 

 long l'existence d'une solution. Dans cette Note d'aujourd'hui, je donnerai 

 de ce théorème une démonstration nouvelle bien sim|3le qui nous dispensera 

 même de la considération des dérivées partielles au bord. 



Soit T une aire connexe, dont la frontière est coustituée par n contours 

 fermés S,, ..., S„. Les coordonnées des points de ces courbes sont les fonc- 

 tions continues de l'arc possédant des dérivées continues du premier el du 

 second ordre. Les fonctions continues a et h ont des dérivées partielles du 

 premier ordre dans T et sur S, les fonctions c et /"sont continues dans T et 

 sur S et satisfont, à l'intérieur de T, à la condition de >L llulder 



I c(.r -H A.r, j + Ay) — c(./-, v) I < const. | v^l Aa- )* -•- (■^''■)" I • 



I /(x -H ^x. y -h Aj) -f(x. y) I < coiisi. | v/( Axl' -t- ( Aj)' \'' (o < ). < 1). 



Soit ^'(x,Y) la fonction harmonique bornée, régulière dans T, prenant 

 sur S des valeurs données, supposées continues, sauf en un nond)re fini de 

 points où elles subissent des changements brusques. Considérons l'équatiou 

 de INL Fredholm 



U(^,.y)==:-;;^ / l'\i[a(lr,)G{x.y,ln)] 



(2) 



4-[l>{'i,ri)G(.r, v;t, r,)l 



- c(i, r,) G(.r, j; f, y]) U(ir,) dl du 



G(j?,_y; ^, -^ ) désignant la fonction classique de Green. Soit ll(.r,r) sa 

 solution ou, si l'équation (2) n'est pas résoluble, une solution de l'équation 

 intégrale obtenue en posant /(x-, j) = f(j?,v) — o. On démontre facile- 

 ment que sur S les valeurs de U(x', j) sont égales aux valeurs de ('(.x-, r). 

 Soit (•», j) un point quelconque à l'intérieur de T. Voici un lemme iiliîe'" 

 concernant les dérivées partielles du potentiel 



//" 



?(ç, n) dldr, — p{x, r), 



5( :. r,) désignant une fonction continue quelconque. Les dérivées |)arliolles 



> 



