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^Pl±J^, 'lElfzZl satisfont à la condition de M. Hôlder (' ) 

 a.r ay ^ ■' 



(3) 



dp(x -h Ax, y -^ ly) t)/> t .r, y ) 

 d.r âx 



< const. I v/^A.rj-H- (Aj)^ |'' (o< Â< i ). 



Faisons usage de ce leniine dans l'étude de la l'onction \}(x, y). On 

 observe d'abord que U(./', y) satisfait à la condition de M. Hôlder. Ce fait 

 établi, il s'ensuit d'un théorème classique que U(a;, y) a les dérivées par- 

 tielles continues du premier ordre. Soit T' une aire connexe intérieure à T 

 et contenant (x-, j); soit S' son contour. Jécris 



I U(x,j)=- -^ / G{x, y-l,-n)l] a.-n)[a{l,Ti) d-n - bCcyrt) dl] 



±.ffG{^,y,l,;) 



4-c(£,-o)U(^,rj) 



(4) 





d^dri 



On 



[t>{l-rt}G(j!,y;^,-n)] 



— c(>, ■n)G(j:, j; ç, Yi) ^ V{t,ri)d^dri 



On constate facilement, en utilisant encore une fois le lemme(3 ), queles 



dérivées partielles -;— , -— satisfont à la condition de M. Hôlder. Donc, 



' dx dy 



d'après un théorème classique, la fonction U(.r,^) a des dérivées partielles 

 continues du second ordre à l'intérieur de T. Alors de la relation (4) on 

 tire la relation 



d'-\i d'\] 

 Ojs'- dv- 



dx 



dy 



ou 



(5) 



ii.t- ()\- d.v dy 



si y(.r, y) = f(.r, j) =: o. Donc \j{x, y) est une solution de l'équation (i) 

 ou de ré(jualion homogène correspondante, prenant au bord les valeurs 

 prescrites ou la valeur zéro. 



(') \oir Di.M, !^iir lu imlliode des approximations successives pour les éijiiations 

 aux dérivées parLielles du deuxième ordre i Icta mathemalicu, t. \\V, rgoa, 

 p. i92-t96). 



