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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les ensembles parfaits discontinus à deux 

 dimensions. Note de M. Arnaud Denj«)y, présentée par M. Painlevé. 



Etant donné un ensemble parfait discontinu E, on sait que deux points 

 quelconques A et B n'appartenant pas à l'ensemble peuvent être joints d'une 

 infinité de façons par des chemins ne rencontrant pas l'ensemble. Il est 

 extrêmement important pour la théorie des fonctions analytiques de savoir 

 comparer la limite inférieure des longueurs de ces chemins à la distance 

 à vol (l'oiseau des points A et B. 



I. On peut se demander d'abord s'il est toujours possible de joindre les 

 points A et B par une courbe dont la tangente, à variation continue, fasse 

 constamment avec la droite AB un angle inférieur à une valeur fixe, infé- 

 rieure par exemple à 90°. Voici un exemple prouvant qu'il n'en est rien. 



Je considère le segment joignant un point C de Ay à un point D' d'or- 

 donnée négative — c^ et d'abscisse positive. Sur ce segment, je considère une 

 infinité dénombrable et dense de points A,j, d'abscisses a„, auxquels j'at- 

 tache des nombres o„, tels que -o„= d. Cela étant, je transporte parallèle- 

 ment à Or, de la quantité 0,, le segment A, D' (la ligure formée F^ se corn-, 

 pose de deux segments parallèles); d'une quantité h^ parallèlement à Oy, la 

 partie de F^ d'abscisse supérieure à celle a., de Ao (F, se compose de trois 

 segments parallèles entre eux), etc. F„ tend vers un ensemble parfait dis- 

 continu E, ayant ses extrémités sur Ox, en D, et sur Or, en C, et n'ayant 

 pas de points au-dessous de Ox moyennant une condition d'inégalité im- 

 posée aux S. 



Toute droite à coefficient angulaire nul, positif ou infini et rencontrant CD 

 rencontre E,. Il en est par suite de même pour toute courbe à abscisses et 

 ordonnées simultanément non décroissantes. Tout cercle ayant son centre 

 sur E, et auquel C c< D sont extérieurs, rencontre E, . 



L'ensemble E, est situé sur une ligne rectifiable E' qu'on obtient en ajou- 

 tant à E la famille des segments A„ de longueur S„ joignant les deux points 

 de E dont l'abscisse est a„. 



E' divise l'angle x Ky en deux régions telles qu'îY nest pas possible, sans 

 rencontrer E,, de passer de l'une dans l'autre par un chemin dont la tangente 

 fasse avec la première bissectrice un angle inférieur à .\^°. 



Si j'ajoute bout à bout et dans les deux sens sur la droite indo'linie qui 

 porte CD une infinité de segments égaux à CD, si sur chacun d'eux je 



