SÉANCE DU 2 NOVEMBRE I909. 727 



construis un ensemble ég'al àE,, si je complète rcnsemble tolnlpar symétrie 

 par rapport k Ox, /'ensemble obtenu ( /jorfé par deux lignes rectiftahles s^ 

 coupant en croix) est /encontre par toute droite duplan. ( Cette propriété appar- 

 tient à certains ensembles non rectifiables définis par M. Zoretti.) 



Si je répète indéfiniment sur E3, dans les deux sens, la translation qui 

 amène ( ) en I) ou D en O, si j'ajoute à l'ensemble obtenu celui qu'on trouve 

 en faisant tourner celui-ci de 4 »" autour de (), l'ensemble E, final est tel 

 (jue toute courbe dont la tangente varie d' une façon continue et n'oscille pas 

 de plus de 90" le long d'un arc supérieur à une certaine constante k, rencontre 

 E<. E^ est situé sur deux réseaux de pseudo-[)arallélogramiii(>s à côtés recti- 

 fiables. 



Si je complète E, par ses symétriques relativement aux axes de OD, ce 

 qui me donne E5, si je considère un ensemble parfait e situé sur un segment 

 PQ ; si, sur P„Q„, «"'""^ intervalle contij;u à e, je construis un ensemble e„ 

 semblable à E^, P^Qn étant homologue de OD, l'ensemble total r\ égal à 



e -^"^e^ est tel qu'î/ est impossible de joindre un point de P„Q„ à un point 



de Pl,Q„' par un chemin dont la projection sur PQ aille toujours dans le même 

 sens. La longueur de y] est finie. 



Le contour du pseudo-triangle COD est une ligne fermée, au sens de 

 Cantor, rectiftah/e, dont l'intérieur est toujours situé vers les .r positifs, sauf en 

 un ensemble parfait discontinu de points (où l'intérieur est des deux côtés ou 

 d'aucun ). 



On voit à (|uelles difficultés on se heurte dès qu'on cherche des pro- 

 priétés générales aux chemins AB qui évitent un ensemble parfait. Ces dif- 

 ficultés s'accroissent si l'aire de l'ensemble n'est pas nulle. 



II. Soit E„ l'ensemble parfait formé par les points qui se projettent sur 

 Oa; et sur Oj suivant deux ensembles c, e' que nous définirons ainsi (les 

 propriétés de E^ appartiennent à des ensembles- très généraux) : e s'obtient 

 en retranchant d'un segment a^ égala i le segment concentrique égal à k\ 

 de chacun des segments séparés ainsi, les segments concentriques égaux 

 à^'; ..., à la «'<""« opération, des segments conservés à la [n — ly^me [çg 

 segments concentriques égaux à k", etc. L'ensemble é se définit de même, 

 mais est porté par a'jil'. Si l'on appelle rectangle contigu à Ej un rectangle 

 parallèle aux axes, dont deux des côtés se projettent suivant a'jî', deux 

 autres suivant un intervalle contigu à e, les rôles de e et de e' pouvant 

 s'échanger : 



1° Toute droite qui rencontre l un des côtes du carré minimum T conte- 



