SÉAITCE DU H NOVEMBRE 1909. 767 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Module d'une série de Taylor. 

 Note de M. Eugène Fabry. 



Pour les valeurs .r ^ sf"", de module p, inl'érieui' au rayon de conver- 

 jj'ence, le maxinuini du module de la fonction f{x) = 2. ^>i^" ''^' ''ii moins 



égal au module d'un ternie quelconque a„ p" (Ca.uchy, OEuvres, i"' série, 

 t. YllI, p. 288 j. Ce théorème peut être généralisé en considérant des 

 i^ommes de termes successifs. Formons la somme 



a— 1 



* ' / VTl/ VTC' VTT/^ vit/ / VIT/ 



>\i-t-e -l-f '^-t-...H-t' ^ } e ' f \.r e / 







'il/ 



2 I « ■ /H — il — ^ :> I /( — w - ^) -t- I I — — 



-h « "^ -i- . . . -h <■' "^ , 



ïi — a V = 



ces /; sommes sont nulles, sauf si n — m a lune des valeurs h -+- ku., où /• 

 est entier, h^o, i, ..., /> - i. Si [x^m-{-p, le second membre se 



réduit à 



« /'- 1 



,.>>,, , , ,.IIH-/l +/.IJ. 



/-'■ , ^^ <-'in + li+l,\l.'^ ' • 



^ = // — 



Dans le premier membre, f {x) est multiplié par y^ ; le coefficient de 

 J \x(' ^ J a. pour module la valeur absolue de 



,,vic/ , ■tr.i , vt:/ sm 



„,_,, ,,,_,, __ ,,_,, 



e "^ -»- e • -H- . . . -f- '' *^ = ■ — ' 



. vt: 

 sin — 



P'j- 



qui a le signe de sin 



Prenons a = À^, A étant entier, et v = aX -1- [3, où 



i3 = o, 1 , . . , , ). — I ; X =10, \ i> — I ; V = o, I 1 1> — 1 . 



sin ^— ^ ^ sin {oi.-\-^\r. aie signe de ( — 1 )'■'■. 



F- 



La somme des modules des u. coefficients de /", dans le premier meinlMe, 



