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SÉANCE DU 8 NOVEMBRE 1909. 769 



Intégrer ce système équivaut à trouver les équations de définition (') du 

 groupe (P) engendré par la transformation infinitésimale 



n , 



(2) lS5f=-£^+^Pi{x,Xu...,X^)—- 



j = l 



L'ensemble de toutes les transformations de la forme 



(3) j; = ^-t- const., j-,=/,(x, ari, . . ., jr„) (« = i, 2, . . . , «), 



qui laissent w/ invariante, forme un groupe rationnel (G), dont (P) est un 

 sous-groupe. Nous désignerons par {g) tout sous-groupe rationnel de (G), 

 contenant (P); et nous appellerons groupe caractéristique du système (i) le 

 groupe (y) commun à tous les groupes {g)- 



Ce groupe caractéristique peut jouer le rôle de groupe de rationalité du 

 système (i), en ce sens que c'est de la structure de ce groupe que dépend la 

 nature des opérations à effectuer pour intégrer ce système. Les remarques 

 suivantes montreront comment la notion de ce groupe, qui est intuitive, 

 conduit, très facilement, à celle des groupes de rationalité introduits par 

 M. Drach. L'emploi direct de ce groupe caractéristique est, du reste, plus 

 pratique dans beaucoup d'applications. 



2. Les équations de définition d'un groupe {g) se composent des équa- 

 tions 



dx' dx' 



(4) ^='' 'dx~^' '^^'i=Pi{x\^\^ ■■•^x'n.) ('■=', 2, ••-. 'Oi 



et d'un système (E), où figurent seulement, en plus des variables, des déri- 

 vées des x\ par rapport aux Xi. Associons au système (E) les équations 



(5) nj^'',= o (t := I, 2, . . ., «), 



et considérons x' comme une constante donnée : le système rationnel (6) 

 ainsi formé est automorphe; ses solutions se déduisent de l'une quelconque 

 d'entre elles en effectuant, soit sur les x\ , soit sur les a:,-, les transformations 

 du plus grand sous-groupe (^) de (^) laissant invariante la variable x\ et 

 une de ces solutions est la solution principale de xsf ^= o, qui correspond à 

 x^=x'. 



(') Nous entendons par équations de définition d'un groupe ce que S. Lie appelait 

 les « équations de définition de ses transformations finies ». El nous disons, pour 

 abréger, que le groupe est rationnel quand ses équations de définition sont ration- 

 nelles. 



C. R., 1909, 2- Se/nei^/e. (T. 149, N° 19.) . lo4 



