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4. Le cas e = e, . — On obtient aisément que dans ce cas on a 



N^— DA = o, 



et nous sommes parvenus à l'équation de Pell 



5. Le cas e ^ — e, . — On obtient dans ce cas les détails de l'analyse par 

 laquelle Gauss démontre l'existence de la forme anceps. 



En effet, dans ce cas, on a deux relations 



(2) «ô, + ôati — (3y, — y;3, = o, N = o. 



Si l'on pose 



«âi— (3y,= /.-, j3a, — aPi=/, y^^ — èy^ — p, «,5 — (3iy = A:,. 



On peut écrire les relations (2) de la manière suivante : 



(3) k + ki = o, — A/+2BA--t-G/? = o. 



Comme l'expression 



— A/ + 2BA--f-C/7 



est un invariant simultané de deux formes 



(4) (A, B, G), (^, -A-, -/), 



on peut donc prendre la substitution de Gauss (§ 164) 



/m u Ç\ 



qui transforme les formes (4) en les suivantes : 



(A', B', C), {p<,-k\-l') 



satisfaisant à la relation 



— A7'-+-2B'A' + C'/)'=o. 



Pour obtenir la forme (A', B', C) anceps 



2B'=o (modA'), 

 il ne reste qu'à poser 



(5) p':=:piTi^ — 'îkmn~ln-=:ro 



et à faire /' divisible par k' . 



Les deux racines de l'équation (5) par rapport à — donnent deux formes 

 anceps différentes. Une de ces formes est celle de Gauss (§ 164). 



