ACADÉMIE DES SCIENCES 



SÉANCE DU LUNDI liî NOVEMBRE 1909. 



PRÉSIDENCE DE M. BOUCHARD. 



MEMOIRES ET COMMUNICATIOIVS 



DES MEMBRES ET DES CORRESPONDANTS DE L'ACADÉMIE. 



GÉOMÉTRIE INFINITÉSIMALE. — Sur les congruenccs de courbes et sur les 

 surfaces normales aux droites d'un complexe. Note de M. (i. Darboix. 



J'ai publié en 1870, au Tome premier du liulletin des Sciences mathéma- 

 tiques et astronomiques, p. 348, une Note Sur les systèmes linéaires de 

 coniques et de surfaces du second ordre, où se trouvent énoncés sans démons- 

 tration un grand nombre de résultats qui, depuis, ont été utilisés et démon- 

 trés par différents géomètres. Parmi ces résultats, je signalerai le suivant, 

 qui avait attiré l'attention de Sophus Lie : 



Étant données les normales à une famille de surfaces, on peut déterminer, 

 sans intégration, toutes les familles de surfaces normales aux mêmes droites. 



En d'autres termes : .SV l'on a déterminé une première famille de surfaces 

 admettant comme normales toutes les droites d'un complexe, on saura déter- 

 miner toutes les surfaces dont les normales sont les droites du complexe. 



Je voudrais aujourd'hui revenir sur cette proposition, la démontrer et 

 l'adjoindre à quelques autres, relatives aux congruences de courbes. 



1. Envisageons d'abord l'ensemble des courbes définies par des équa- 

 tions différentielles 



dx cly c/z 



où X, Y, Z sont des fonctions données quelconques des coordonnées rec- 

 tangulaires .2-, y, 5. Ces courbes forment ce qu'on appelle aujourd'hui une 



C. R., 1909, 3- Semestre. (T. l'i'J, N» 20) I I" 



