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congruence ; \\ en passe un nombre limité par tout point de l'espace pour 

 lequel les fonctions X, Y, Z ne s'annulent pas simultanément. 



On sait qu'en général, ces courbes ne sont pas normales à une famille de 

 surfaces. Pour qu'il en soit ainsi, il faut que la forme linéaire de différen- 

 tielles 



(2) &d=Xda;-irYdy + 7.d3 



devienne une différentielle exacte quand on la multiplie par un facteur con- 

 venablement choisi, c'est-à-dire qu'on puisse trouver deux fonctions ^ et y 

 telles qu'on ait identiquement 



(3) Xdx-i-\ dy +Zd3=^dy. 



Pour qu'il soit possible de satisfaire à cette identité, il faut et il suffit 

 qu'on ait, pour tous les points de l'espace, 



Supposons que cette condition ne soit pas remplie. Alors, en considérant, 

 au lieu de la forme (2), la suivante, 



(5) Xdx + Ydy + Zdz — d», 



où a est supposée dépendre de x, y, z, on pourra voir ce que devient la 

 condition (4) pour cette nouvelle forme; et l'on sera ainsi conduit à la con- 

 dition 



_<^/£ï_dZ\ ^/f^_f^\ ^(^^_^\ 

 ~ dx \ dz dy ) '^ ûy \ôJ- dz ) "^ dz \dy dx) ' 



qui formera une équation aux dérivées partielles propre à déterminer a. 

 Soit a l'une quelconque de ses solutions. Alors la forme linéaire de difFéren- 

 tielles (5) pourra, d'après ce qui précède, être écrite sous la forme ^rfy. Il 

 sera donc toujours possible, en prenant pour a une solution quelconque de 

 l'équation (G), de trouver deux fonctions [i et y telles ({u'on ait identique- 

 ment 



(7) 0,/=Xafa; -h Y c/y -1- Zf/3 = c?a 4- j3rfy. 



Nous avons vu plus haut comment on détermine a. Lorsque a sera connue?, 

 on obtiendra ^ et y en applicpiant l'une quelconque des méthodes qu'on 



