.a'=:<î»(y, ■/), 

 (i8) la— <^* fl'_ <^* 



SÉANCE UU l5 NOVEMBRE 1909. 821 



Soit, en effet, à résoudre l'équation 

 (i4) d(x -h 1^ dy = de/.' -h 1^' dy' . 



On peut l'écrire comme il suit : 



(i5) d(ci'. — ac'} = ^'dy — ^dy. 



Si y' était fonction de y, on aurait 



(16) a-a'=F(y), 



et l'expression rfa + [i dy se transformerait dans la suivante, 



(17) d^_'+[F'{y) + â]dy, 



qui est encore une forme typique. Laissons ce cas particulier de côté, et sup- 

 posons que y et y' soient indépendantes l'une de l'autre. Alors l'équation 

 différentielle (i5) pourra évidemment se remplacer par le système des trois 

 équations finies 



qui fournissent y', ^' et a' en fonction de a, ^, y. Ainsi : 



Quant/ on a obtenu une expression typique de la forme fondanienta/e, on 

 peut obtenir toutes les autres sans aucune intégration. 



Les formules qui résolvent le problème contiennent une fonction arbitraire 

 de deux imriables et ses dérivées premières . 



\. La réduction de la forme différentielle 0,; à la forme typique 



(ia H- j3 rfy 



nous permet de résoudre un curieux problème de Géométrie : 



Etant données les courbes définies par les équations différentielles ( r), pro- 

 posons-nous de trouver en termes finis les équations de toutes les courbes de 

 l'espace qui sont leurs trajectoires orthogonales. 



Comme ces courbes trajectoires orthogonales satisfont à l'unique équation 



0,^= \dx -H \dy H- Tdz = o, 



on pourra les caractériser par l'équation différentielle 



r/a + 8(/y = o, 



qu'on résout immédiatement en posant 



a=F(y), p-=_F'(y); 



telle sera la solution demandée. 



