84^ ACADÉMIE DES SCIENCES. 



Formons maintenant l'équation du /i'""* degré 



/o(p)=p(p-l-i)...(p + A- — i)-i-... + p(p + i)...(p + «—i)a,- „+...-(- «0,0=0, 



et soit p une racine de cette équation telle qu'aucune des autres racines soit 

 de la forme p + j (^ = o, i , 2, . . .). Correspondant à toute valeur de p qui 

 satisfait à cette condition, on peut trouver une série de factorielles 



e-) 



( 4 ) " ( -f ) =-- -^-r" ^ — .-0 + 



r(^-^p + .).P*^" - + (p-^-)- 



,27 + { p 4- I ) f,l ] [ .7- + ( p -f- 2 ) 01 ] 



convergente dans un certain domaine et satisfaisant à l'équation; les coeffi- 

 cients gy se déterminent aisément par un système de formules de récursions 



(5) ,Çv/o(p + ^•') + é^-l/l(p^-'^-')-^-•■• + ^o/v(p) = o (v = i,2,3, ._..), 

 où les quantités /„, /, , /o, . . . sont définies par l'équation 



Vp(p + >).■.(p^-'•-Oy'-•(-r)=2[,.^-(p + OoOL.r-^(p■+J)c,.]...[.. + (p + .)c,,]• 



( = ■>=o 



La forme la plus générale d'une intégrale de (2) (correspondant à une 

 racine p qui ne satisfait pas à la condition susdite) est la suivante : 



(G) «UO^V ^^■^'$„,. 



i=o v = o ^ r - + p-bv + i coP+^ 



0) 



On trouvera toujours k intégrales î/,, m., . . ., «a f^e cette forme et l'inté- 

 grale la plus générale, satisfaisant à l'équation (2), est 



où les Pi sont des fonctions périodiques satisfaisant à la condition de pério- 

 dicité U(x) = U(x -+- w). 



On démonti'e ainsi le théorème suivant : 



Soil donnée une équation aux différences (2) d'ordj-e k où les coefficients 

 sont tous développahles en séries de factorielles de la forme {'^) sommables 



d'ordre r pour Jl ( - ) >> À^, on sait alors trouver k séries de la forme ((3) satis- 



